מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט

טכניקות של פישוט

ישנו במתמטיקה מושג מעט לא-מתמטי שנקרא פישוט או הבאה לצורה הפשוטה ביותר. זהו תהליך שבו מפעילים פעולות חשבון מותרות על תבנית מתמטית כלשהי ומביאים אותה לצורה "פשוטה יותר".

איזו היא הצורה הפשוטה יותר, זוהי שאלה יותר אנושית מאשר שאלה מתמטית מכיון שאולי צורה אחת פשוטה יותר מצורה שניה לפלוני ולאלמוני היא למעשה מסובכת מצורה אחרת.

למרות זאת, ישנה הסכמה שישנן צורות מסוימות שהן פשוטות יותר מצורות אחרות. למשל, את המספר 1 ניתן להציג בדרכים רבות מאוד. למשל, ברור שניתן להציג את המספר בצורה של ${\frac {a}{a}}$ בתנאי ש- $a\neq 0,\infty$ , וגם בצורה זו (מתחום הטריגונומטריה) $\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)$ . יסכימו הקוראים, כי הצורה הפשוטה יותר היא, כמובן, 1. ישנן דוגמאות נוספות רבות אך צורה זו היא לרוב קלה יותר לקריאה.

מעבר לסיבות של קריאה, עדיף בד"כ להגיע לתוצאות מפושטות שכן אלו בד"כ ימנעו טעויות בחישוב ויקלו עליו מכיוון שלרוב בעזרת פישוט יהיה צורך בפחות פעולות חשבון בסך הכל.

אנו נעבור כעת על מספר צורות אשר מקובלות כצורות הפשוטות יותר (אם כי יצוין כי ישנם יוצאי דופן נדירים) ועל מספר כללים אשר את רוב האנשים יובילו לתחושה שתבנית זו או אחרת היא הפשוטה ביותר שניתן להשיג.

מינימום של פעולות חשבון

במרבית המקרים, כאשר ממעיטים במספר פעולות החשבון בהצגת ערך מסוים (או פסוק מסוים) ברור שהתוצאה תיראה קלה יותר להבנה. אם-כן, למשל, המספר $2\cdot 2^{7}$ קשה יותר לקריאה מ-256. ניתן גם שהתלמידים ישתמשו בזה.

הטכניקות

• צמצום שברים וקו שבר יחיד (קישור מחילוק, כרגע עדין בערך).
• פתיחת סוגריים
• כינוס
• הוצאת גורם מחוץ לסוגריים (הוצאת גורם משותף)
• נוסחאות הכפל הקצר
• רבי-אבר (פולינומים)
• הטרינום

פישוט חילוק - להעביר לפרק חילוק ולקשר

צמצום שברים

כמעט בכל המקרים, אנו מעדיפים לצמצם גורמים משותפים בשברים. למשל בשבר ${\frac {ab}{bc}}$ ישנו גורם משותף למונה ולמכנה. זהו כמובן $b$ . במקרה זה ניתן להציג את השבר כמכפלה של שני שברים כך

${\frac {a}{c}}\cdot {\frac {b}{b}}={\frac {a}{c}}\cdot 1={\frac {a}{c}}$

פעולה זו נקראת צמצום והיא מסומנת לרוב על-ידי מחיקה בקו אלכסוני יחיד של האיבר במונה ובמכנה שאותם מצמצמים כך

${\frac {a\not {b}}{c\not {b}}}$

דוגמא נוספת לסימון כזה היא במקרה של חזקה, למשל

${\frac {a^{2}}{ab}}={\frac {a\not ^{2}}{\not {a}b}}$

קו שבר יחיד

שברים מורכבים הנם שברים אשר בהם מופיע יותר מקו שבר אחד. לדוגמא ${\frac {a}{\frac {c}{b}}}$ . מכיון שמוסכם שפעולת החילוק היא מסובכת יותר מפעולת הכפל. לכן, נעדיף להציג את קו השבר השני כמכפלה במונה או במכנה של הראשון. למעשה, גם בשבר מורכב מאוד, ניתן תמיד להגיע לקו שבר יחיד (אם כי לא תמיד זה כדאי כי לעתים מספר פעולות החשבון אשר יהיה צריך על מנת להציג את המספר הזה תהיה גדולה מדי).

כיצד, אם-כן, ניתן להשיג מטרה זו של הפיכת כל שבר מורכב לקו שבר יחיד? זאת נעשה על-ידי הכפלה במספר 1 (אשר אינה משנה את הערך של השבר). פעולה זו נקראת הרחבה. על-מנת לבצעה, ראשית נציג את המספר 1 בעזרת המכנה של השבר הפנימי יותר של השבר המורכב. נבצע זאת כך:

${\begin{matrix}{\dfrac {a}{\dfrac {b}{c}}}\\1={\dfrac {c}{c}}\end{matrix}}$

מכאן נקבל ש-

${\frac {a}{\frac {b}{c}}}={\frac {a}{\frac {b}{c}}}\cdot 1={\frac {a}{\frac {b}{c}}}\cdot {\frac {c}{c}}={\frac {a\cdot c}{{\frac {b}{c}}\cdot c}}={\frac {ac}{b}}$

או אפשר בצורה אחרת: a:b/c

הפרק הקודם: טכניקות אלגבריות פשוטות

טכניקות של פישוט תרגילים

הפרק הבא: רבי-אבר