מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/כינוס

כינוס

זהו תהליך שבו מבצעים פעולות פשוטות על אברים "דומים". אברים דומים הן מכפלות בעלות אותם משתנים והמקדמים זהים או שונים.

דוגמאות לאברים דומים: $3x^{2},5x^{2}\ ;\ 3y,5y$

לאחר שאנו פותחים סוגריים (או במקרים דומים), אנו מקבלים אברים רבים. כל אבר בנוי ממספר, שאותו נקרא מקדם, ומהפרמטר שלנו (לרוב $a,b,c$ או $x,y,z$ אך אין הכרח בכך) בחזקה כלשהי. הפעולה של חיבור כל המקדמים של חזקה מסויימת נקראת "כינוס אברים". לרוב, לא ניתן לכנס אברים שאינם מאותה חזקה, אלא במקרים מיוחדים בלבד עליהם נעבור בהמשך.

${a+\not {b}+4a+c-\not {b}=5a+c}$

מה שעשינו זה ספרנו כל סוג של אברים ו"כינסנו" אותם יחד.

ניתן עוד דוגמא

${\frac {1}{2}}a^{2}+3b^{2}+2a+b^{2}+{\frac {3}{2}}a^{2}=2a^{2}+4b^{2}+2a$

את הדוגמא לעיל לא ניתן לפשט יותר. נראה בהמשך דוגמאות שבהן ניתן לפשט יותר.

דוגמא נוספת לכינוס אברים

${\begin{matrix}{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {12}}={\sqrt {3}}+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {3\cdot 4}}\\\\={\sqrt {3}}+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {4}}{\sqrt {3}}\end{matrix}}$

כיון ש-3 הנו מספר ראשוני לא ניתן לפרקו לגורמים שאינם 3 או 1. מכאן שאיננו יכולים למצוא לו שורש שהוא מספר שלם (למעשה לא ניתן בכלל לכתוב את השורש הזה בצורה של שבר פשוט הבנוי ממספרים שלמים כלשהם, עובדה שנבין בהמשך) לכן ${\sqrt {3}}$ אינו ניתן לכתיבה בדרך פשוטה יותר ואנו חייבים להתייחס אליו כשם שהיינו מתייחסים לכל פרמטר או משתנה $a,b$ וכיוצא באלו. אנו מתייחסים לכן לכל שורש של מספר ראשוני כשם שהיינו מתייחסים למשתנה. כפי שעשינו, על מנת לכנס אברים של שורשים, נפרקם לשורשים של מספרים ראשוניים ככל הניתן. מכאן, נמשיך את כינוס האברים.

${\begin{matrix}={\sqrt {3}}+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {4}}{\sqrt {3}}={\sqrt {3}}+3{\sqrt {5}}+2{\sqrt {3}}\\\\=3{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5}}\end{matrix}}$

ניתן לפשט רק עוד במעט, ואת זאת נראה כאשר נדון בהוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים.

ביטול אברים נגדיים

כמעט בכל המקרים, אנו מעדיפים לצמצם גורמים משותפים בשברים. אותם כללי הסימון חלים על אברים נגדיים של חיבור (וחיסור כמובן). למשל

$a^{2}-b-a^{2}=\not {a^{2}}-b-\not {a^{2}}$