מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/נוסחת השורשים

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

המשוואה

נוסחת השורשים היא נוסחא לפתרון משוואה ריבועית: $ax^{2}+bx+c=0$

הנוסחה

מציבים את ה- $a,b$ וה- $c$ בנוסחא:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

דוגמה

צריך לפרק את הביטוי $12x^{2}-20x-25$ לגורמים מהצורה $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ . נמצא את השורשים $x_{1},x_{2}$ :

${\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {20\pm {\sqrt {20^{2}-4\cdot 12\cdot (-25)}}}{2\cdot 12}}\\&={\frac {20\pm {\sqrt {1600}}}{24}}\\&={\frac {20\pm 40}{24}}\end{aligned}}$

מכאן:

$x_{1}={\frac {20+40}{24}}={\frac {5}{2}}\quad ,\quad x_{2}={\frac {20-40}{24}}=-{\frac {5}{6}}$

ומקבלים:

$12x^{2}-20x-25=12\left(x-{\frac {5}{2}}\right)\left(x+{\frac {5}{6}}\right)$

ניתן להגיע לתוצאה יפה יותר אם נעלים את השברים. ניתן לפרק את ה-12 לגורמים 6 ו-2 אז נקבל:

${\begin{aligned}12x^{2}-20x-25&=2\cdot 6\cdot \left(x-{\frac {5}{2}}\right)\left(x+{\frac {5}{6}}\right)\\&=\left(2x-2\cdot {\frac {5}{2}}\right)\left(6x+6\cdot {\frac {5}{6}}\right)\\&=(2x-5)(6x+5)\end{aligned}}$

דיסקרימיננטה

בכדי לראות כמה פתרונות יש למשוואה ריבועית מסויימת יש לחשב את הדיסקרימיננטה. דיסקרימיננטה היא הביטוי שתחת השורש ומסומן באות היוונית דלתא:

$\Delta =b^{2}-4ac$

אם $\Delta >0$ - יש שני פתרונות למשוואה

אם $\Delta =0$ - יש פתרון אחד למשוואה

אם $\Delta <0$ - אין פתרון למשוואה

ראו גם

• תרגול