מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/פירוק לגורמים

מושגים חשובים

• מספר טבעי - מספר שלם וחיובי (1, 2, 3, 4...)
• מספר ראשוני - הוא מספר טבעי המתחלק ללא שארית בשני מספרים בלבד: בעצמו ובאחד, להבדיל ממספר פריק. (לדוגמה: 7 הוא ראשוני, הוא מתחלק ללא שארית רק ב-7 וב-1).
• מספר פריק - הוא מספר טבעי שאפשר לכתוב אותו כמכפלה של שני מספרים טבעיים גדולים מ-1. מספרים אלה נקראים גורמים של המספר הנתון. (לדוגמה: המספר 14 הוא פריק מכיוון שאפשר לפרק אותו כמכפלה של 2 ו-7, ולכן 2 ו- 7 הם הגורמים של 14).

כל מספר שלם גדול מ-1 הוא ראשוני או פריק.

פירוק לגורמים של מספר

פירוק לגורמים של מספר הוא מציאת הגורמים הראשוניים שלו. ננסה למשל לפרק לגורמים את המספר 30.

30 הוא 3 כפול 10.
3 הוא מספר ראשוני, אך את עשר ניתן לפרק שוב.
10 הוא 2 כפול 5.
2 ו-5 שניהם מספרים ראשוניים ולכן סיימנו את הפירוק.
הגורמים הראשוניים של 30 הם 2, 3, ו-5. המשמעות היא ש 30 = 5*3*2.

נבחן דוגמה נוספת:

40 הוא 10 כפול 4.
4 הוא 2 כפול 2.
10 הוא 2 כפול 5.
הגורמים של 40 הם 2,2,2 ו- 5.
נשים לב שהגורם הראשוני 2 מופיע שלוש פעמים בפירוק!

ישנה שיטה לפירוק לגורמים של מספר. על פי השיטה נבדוק האם המספר מתחלק ב-2. אם כן, נרשום בצד 2 (2 הוא גורם של המספר) ונחזור על הפעולה. אם הוא אינו מתחלק ב-2 ניקח את המספר הראשוני הבא בתור, 3, ונבדוק אם הוא מתחלק בו. אם כן נרשום אותו בצד כגורם ונחלק בו. אם לא נעבור למספר הראשוני הבא - 5 וכן הלאה. להלן דוגמה:

פרק לגורמים את המספר 4620.
4620 מתחלק ב-2 (רשימת גורמים: 2)
נחלק את 4620 ב-2 ונקבל 2310.
2310 מתחלק ב-2 (רשימת גורמים: 2,2)
נחלק את 2310 ב-2 ונקבל 1155
1155 אינו מתחלק ב-2
1155 מתחלק ב-3 (רשימת גורמים 2,2,3)
נחלק את 1155 ב-3 ונקבל 385
385 אינו מתחלק ב-3
385 מתחלק ב-5 (רשימת גורמים 2,2,3,5)
נחלק את 385 ב-5 ונקבל 77
77 אינו מתחלק ב-5.
77 מתחלק ב-7 (רשימת גורמים 2,2,3,5,7)
נחלק את 77 ב-7 ונקבל 11.
11 הוא מספר ראשוני (רשימת גורמים 2,2,3,5,7,11)
מכיוון ש-11 הוא מספר ראשוני הפירוק הסתיים.

מה זה פירוק לגורמים?

באופן כללי - פירוק לגורמים היא פעולת מציאת הגורמים אשר מהם מורכבת מכפלה. מכיוון שאנו עוסקים באלגברה, נבין מהו פירוק לגורמים של ביטוי אלגברי. לדוגמה:

$a\cdot b\,+2\cdot a=a\cdot (b+2)$

a ו- (b+2) הם גורמים של $a\cdot b\,+2\cdot a$

פירוק לגורמים של ביטוי אלגברי, הוא פעולת מציאת הגורמים אשר מהם מורכב הביטוי האלגברי. אם הביטוי אינו ניתן להצגה כמכפלה, נאמר שהוא אינו פריק.

תרגיל לדוגמה:

האם (a+1) ו- b הם הגורמים של ab + 2b?

פתרון:

נכפיל את b ב- (a+1) ונקבל: $b\cdot (a+1)=b\cdot a+b\neq a\cdot b+2\cdot b\,$. מכפלת הגורמים אינה נותנת ab + 2b ולכן הם אינם הגורמים של הביטוי.

בפרקים הבאים נלמד לפרק ביטויים אלגבריים לגורמים. כרגע נגלה שהגורמים של ab + 2b הם b ו- (a+2) $b\cdot (a+2)=b\cdot a+b\cdot 2=a\cdot b+2\cdot b\,$.

למה זה טוב?

במסגרת לימודי האלגברה לבגרות במתמטיקה, נידרש לבצע פעולות שונות על ביטויים אלגבריים, ומשוואות אלגבריות. פירוק לגורמים של ביטוי אלגברי הוא כלי שיעזור לנו בהמשך, ולכן חשוב לנו ללמוד אותו היטב.