מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/פתיחת סוגריים

פתיחת סוגריים וקיבוץ אברים הינן פעולות שגרתיות אשר כל תלמיד מתמטיקה ומקצועות מדעיים אחרים יתקל בהן. פתיחת סוגריים הנו תהליך שבו אנו כופלים שני ביטויים (או יותר) הנמצאים בתוך סוגריים, ומקבלים ביטוי אשר בו מספר הסוגריים קטן. בתהליך אנו משתמשים בחוק הפילוג וחוק הקיבוץ מחוקי החשבון. את הפעולה אנו מבצעים לפי הסדר, כאשר כל אבר הנמצא בסוגר אחד כופל אבר הנמצא בסוגר שני פעם אחת בדיוק. על-מנת להמנע מטעויות לפחות בתחילת דרככם, ניתן לפרק את הפעולה בצורה הבאה: למשל אם נרצה לכפול את $(a+b)$ ב- $(c+d)$ נקבל

$(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd$

דוגמאות נוספות:

${\begin{matrix}(x+1)(x-6)=x(x-6)+1(x-6)=x^{2}-6x+x-6=x^{2}-5x-6\\\\(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\end{matrix}}$

כאשר יש יותר משני כופלים (למשל 3) יש לקבץ את האברים בסוגרים לפני הכפל כך:

${\begin{matrix}(a+b)(c+d)(h+g)=[(a+b)(c+d)](h+g)\\\\=[a(c+d)+b(c+d)](h+g)\\=(ac+ad+bc+bd)(h+g)=ac(h+g)+ad(h+g)+bc(h+g)+bd(h+g)\\=ach+acg+adh+adg+bch+bcg+bdh+bdg\end{matrix}}$

תלמידים רבים טועים כאשר מנסים לבצע תרגיל זה וכותבים (בטעות) את הפסוק הבא

$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$

זוהי טעות שכן החזקה איננה ניתנת לפילוג לפעולות חיבור. פילוג בחזקה ניתן לבצע רק בכפל. מכאן גם נובעת מסקנה נוספת, והיא שגם שורשים לא ניתן לפלג, שכן אף הם חזקות, מה שלא מונע מתלמידים רבים לטעות גם כאן ולכתוב ש-

${\sqrt {a+b}}={\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}$

שאף זוהי טעות. זוהי פתיחת סוגריים בלתי-חוקית. ניתן להשתמש אך ורק בחוקי החשבון הידועים לנו מפרק קודם על-מנת לפתוח סוגריים. דוגמא נוספת:

$(a+b+c+d)(e+f)=(a+b+c+d)e+(a+b+c+d)f=ae+be+ce+de+af+bf+cf+df$

פתיחת הסוגר הראשון קודם תביא לביטוי ארוך יותר וסיכוי רב יותר לטעויות.