מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הגדרת המספרים המרוכבים/תרגילים

שאלות

פתרון משוואות בעזרת מספרים מרוכבים

פתרו את המשוואות הבאות:

1. $x^{2}+16=0$
2. $x^{2}-4x+20=0$
3. $10x^{2}+2x+1=0$
4. $x^{2}+x+1=0$
5. $x^{3}-3x^{2}+4x=0$
6. $x^{4}-1=0$
7. $x^{4}+5x^{2}+6=0$
8. $x^{3}-1=0$

חזקות של $i$

חשבו את המספרים הבאים (החזירו את התשובה הפשוטה ביותר שאתם מסוגלים):

1. $i^{109}$
2. $-i^{15}$
3. $(-i)^{77}$
4. $({\sqrt {2}}i)^{8}$
5. $(i^{12}+i^{32}-i^{52})^{537}$
6. $(i^{27}-i^{13})^{5}$
7. $(i+i^{2}+i^{3}+\dots +i^{40})^{120}$

פתרונות

פתרון משוואות בעזרת מספרים מרוכבים

תשובות סופיות

1. $x_{1,2}=\pm 4i$
2. $x_{1,2}=2\pm 4i$
3. $x_{1,2}=-{\frac {1}{10}}\pm {\frac {3}{10}}i$
4. $x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}$
5. $x_{1}=0,x_{2,3}={\frac {3\pm {\sqrt {7}}i}{2}}$
6. $x_{1,2}=\pm 1,x_{3,4}=\pm i$
7. $x_{1,2}=\pm {\sqrt {3}}i,x_{3,4}=\pm {\sqrt {2}}i$
8. $x_{1}=1,x_{2,3}={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}$

הסבר

• שאלות 1-4 מתבססות על שימוש סטנדרטי בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית, כאשר הפעם הדיסקרמיננטה שתתקבל תהיה שלילית ויש להוציא את השורש שלה באמצעות שימוש במספרים מרוכבים.
• בשאלה 5 אחד הפתרונות הוא 0 (כי אין מקדם חופשי), וניתן לחלק ב-x כדי לקבל משוואה ריבועית עבור הפתרונות הנותרים.
• בשאלה 6 כדאי לשים לב שמתקיים $x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)$ ואז ניתן לפתור שתי משוואות ריבועיות שונות כדי לקבל את כל התוצאות.
• בשאלה 7 נסמן $t=x^{2}$ , נפתור את המשוואה הריבועית שתתקבל $t^{2}+5t+6$ ונוציא שורש מהתוצאות.
• בשאלה 8 נשים לב ש- $x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)$ ולכן פתרון אחד נתון מיידית על-ידי $x=1$ והשאר על-ידי שאלה 4.

חזקות של $i$

תשובות סופיות

1. $i$
2. $i$
3. $-i$
4. $16$
5. $1$
6. $-32i$
7. $0$

הסבר

• בשאלות 1-4 הפתרון נובע משימוש מיידי בחוקי החזקות ובכך ש- $i^{4}=1$ . למשל: $i^{109}=i^{108}\cdot i=(i^{4})^{27}\cdot i=1^{27}\cdot i=i$ .
• בשאלות 5-7 מספיק להביא כל אחד מהאברים בסכום לצורה פשוטה יותר כדי לקבל שהסכום בסוגריים יהפוך לאיבר בודד, ועליו קל להפעיל את פעולת החזקה.