מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הגדרת המספרים המרוכבים

מה הוא מספר מדומה?

קיימות משוואות שלהן אין פתרון באמצעות המספרים הממשיים על כן "המציאו" מספר מדומה בכדי לפתור אותן. דוגמה בולטת למשוואה כזו היא $x^{2}+1=0$

אחרי העברת אגפים והוצאת שורש נקבל $x={\sqrt {-1}}$. בקבוצת המספרים הממשיים אין שורש למספר $-1$ כי העלאה בריבוע של כל מספר ממשי יוצרת תמיד מספר אי-שלילי. הסימון לפתרון משוואה מהסוג $x={\sqrt {-1}}$ הוא $i={\sqrt {-1}}$

חזקות של i

הגדרנו את $i$ על-ידי כך ש- $i^{2}=-1$ .

מהגדרה זו ניתן לקבל חזקות נוספות של $i$ :

$i^{3}=i^{2}\cdot i=-1\cdot i=-i$

$i^{4}=i^{3}\cdot i=-i\cdot i=-i^{2}=-(-1)=1$

$i^{5}=i^{4}\cdot i=1\cdot i=i$

$i^{6}=i^{5}\cdot i=i\cdot i=i^{2}=-1$

מחזוריות של ארבע - קיבלנו שקיימת מחזוריות בחזקות של $i$ לאחר כל ארבע העלאות בחזקה אנחנו חוזרים למספר עצמו.

ניתן להוכיח זאת כך: אם $i^{n}=x$ אז $i^{4+n}=i^{4}\cdot i^{n}=1\cdot x=x$.

בנוסף נזכיר כי על פי כללי חזקות $i^{0}=1$ וכן $i^{-n}={\frac {1}{i^{n}}}$ .

הגדרות

• מספר מדומה - כל מספר שצורתו $bi$ כאשר $b$ מספר ממשי ו-$i$ מקיים $i^{2}=-1$.
• מספר מרוכב - מספר המורכב ממספרים ממשים וממספרים מדומים והצגתו האלגברית או הקרטזית היא מהצורה $a+bi$ כאשר $a,b\in R$ כלומר $a,b$ שייכים למספרים הממשים.
  • המספר הממשי $a$ של המספר המרוכב מסומן $a={\mbox{Re}}(z)$ כאשר ה- ${\mbox{Re}}$ הוא קיצור של המילה האנגלית Real - "ממשי".
  • המספר המדומה $b$ של המספר המרוכב מסומן $b={\mbox{Im}}(z)$ כאשר ה- ${\mbox{Im}}$ הוא קיצור של המילה האנגלית Imaginary (מדומה).

כל המספרים הממשים הם מרוכבים מפני שניתן לייצג אותם עם החלק המדומה של מספר מרוכב הוא $0$ , המספר הוא מהצורה $a+0\cdot i$ כאשר $a$ הוא מספר ממשי.

חשוב לזכור: השדה של מספרים מרוכבים אינו סדור דהינו איננו יכולים לסדר את המספרים בסדר עולה על הצירים מפני שאיננו יודעים את מיקומו של $i$ על מערכת הצירים, האם נמצא בציר המספרים החיובים? או השלילים? או אולי שווה לאפס?

משפט היסודי של האלגברה

עתה נוכל להגיע למסקנה החשובה ביותר שאינה נכונה למספרים הממשיים: לכל משוואה עם חזקה (משוואה עם פולינומים) יש פתרון מרוכב. מסקנה זו נוסחה בשם "משפט היסודי של האלגברה".

על-פי המשפט: לכל משוואה מהצורה $a_{n}*x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$ ($a_{n}\neq 0$) שבה המקדמים של $x$ הם $a_{n},...a_{1},a0$ הם מספרים מרוכבים יש לפחות שורש מרוכב אחד. לא נוכיח מסקנה זו ונקבל אותה כנכונה מאליה. בנוסף, לא תמיד קל למצוא את הפתרונות של משוואות ממעלות גבוהות כמו ממעלה שביעית באמצעות הפעולות שלמדנו עד כה. למעשה אוורסט גלואה הוכיח כי לא קיימת נוסחה כללית לפתרון משוואות ממעלות גבוהות כמו מעלה שביעית.

הפרק הקודם: מספרים מרוכבים

הגדרת המספרים המרוכבים תרגילים

הפרק הבא: חשבון במספרים מרוכבים