מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הגדרת המספרים המרוכבים

מה הוא מספר מדומה?

קיימות משוואות שלהן אין פתרון באמצעות המספרים הממשיים על כן "המציאו" מספר מדומה בכדי לפתור אותן. דוגמה בולטת למשוואה כזו היא $x^{2}+1=0$

אחרי העברת אגפים והוצאת שורש נקבל $x={\sqrt {-1}}$. בקבוצת המספרים הממשיים אין שורש למספר $-1$ כי העלאה בריבוע של כל מספר ממשי יוצרת תמיד מספר אי-שלילי. הסימון לפתרון משוואה מהסוג $x={\sqrt {-1}}$ הוא $i={\sqrt {-1}}$

חזקות של i

הגדרנו את $i$ על-ידי כך ש- $i^{2}=-1$ .

מהגדרה זו ניתן לקבל חזקות נוספות של $i$ :

$i^{3}=i^{2}\cdot i=-1\cdot i=-i$

$i^{4}=i^{3}\cdot i=-i\cdot i=-i^{2}=-(-1)=1$

$i^{5}=i^{4}\cdot i=1\cdot i=i$

$i^{6}=i^{5}\cdot i=i\cdot i=i^{2}=-1$

מחזוריות של ארבע - קיבלנו שקיימת מחזוריות בחזקות של $i$ לאחר כל ארבע העלאות בחזקה אנחנו חוזרים למספר עצמו.

ניתן להוכיח זאת כך: אם $i^{n}=x$ אז $i^{4+n}=i^{4}\cdot i^{n}=1\cdot x=x$.

בנוסף נזכיר כי על פי כללי חזקות $i^{0}=1$ וכן $i^{-n}={\frac {1}{i^{n}}}$ .

הגדרות

• מספר מדומה - כל מספר שצורתו $bi$ כאשר $b$ מספר ממשי ו-$i$ מקיים $i^{2}=-1$.
• מספר מרוכב - מספר המורכב ממספרים ממשים וממספרים מדומים והצגתו האלגברית או הקרטזית היא מהצורה $a+bi$ כאשר $a,b\in R$ כלומר $a,b$ שייכים למספרים הממשים.
  • המספר הממשי $a$ של המספר המרוכב מסומן $a={\mbox{Re}}(z)$ כאשר ה- ${\mbox{Re}}$ הוא קיצור של המילה האנגלית Real - "ממשי".
  • המספר המדומה $b$ של המספר המרוכב מסומן $b={\mbox{Im}}(z)$ כאשר ה- ${\mbox{Im}}$ הוא קיצור של המילה האנגלית Imaginary (מדומה).

כל המספרים הממשים הם מרוכבים מפני שניתן לייצג אותם עם החלק המדומה של מספר מרוכב הוא $0$ , המספר הוא מהצורה $a+0\cdot i$ כאשר $a$ הוא מספר ממשי.

חשוב לזכור: השדה של מספרים מרוכבים אינו סדור דהינו איננו יכולים לסדר את המספרים בסדר עולה על הצירים מפני שאיננו יודעים את מיקומו של $i$ על מערכת הצירים, האם נמצא בציר המספרים החיובים? או השלילים? או אולי שווה לאפס?

הפרק הקודם: מספרים מרוכבים

הגדרת המספרים המרוכבים תרגילים

הפרק הבא: חשבון במספרים מרוכבים