מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/משפט דה-מואבר
משפט דה-מואבר
עריכהמשפט דה-מואבר הוא משפט כללי המציג נוסחה כללית לכלל המספרים המרוכבים המועלים בחזקה. לפיו
הוכחה
עריכהנוכיח באינדוקציה מתמטית. עבור ניתן להוכיח בקלות מהגדרות ההצגה הקוטבית וכפל המרוכבים.
נניח נכונות עבור , ונבדוק נכונות עבור :
בשורה הרביעית השתמשנו בהנחת האינדוקציה מן השורה הראשונה, ובחמישית בכפל המרוכבים הנ"ל.
נראה כעת את נכונות המשפט עבור . נשים לב כי אם אז כאשר .
לכן ניתן לכתוב:
את הנוסחה עבור כבר מצאנו בחלק הקודם. לכן נשתמש בה ובמשפט דה-מואבר עבור מספרים גדולים מאפס, ונקבל:
הפרק הקודם: המישור המרוכב וההצגה הקוטבית |
משפט דה-מואבר תרגילים |
הפרק הבא: בניה פורמלית של המספרים המרוכבים |