מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/משפט דה-מואבר

משפט דה-מואבר

עריכה

משפט דה-מואבר הוא משפט כללי המציג נוסחה כללית לכלל המספרים המרוכבים המועלים בחזקה. לפיו  

הוכחה

עריכה

נוכיח באינדוקציה מתמטית. עבור   ניתן להוכיח בקלות מהגדרות ההצגה הקוטבית וכפל המרוכבים.

נניח נכונות עבור   , ונבדוק נכונות עבור   :

 

בשורה הרביעית השתמשנו בהנחת האינדוקציה מן השורה הראשונה, ובחמישית בכפל המרוכבים הנ"ל.  

נראה כעת את נכונות המשפט עבור   . נשים לב כי אם   אז   כאשר   .

לכן ניתן לכתוב:  

את הנוסחה עבור   כבר מצאנו בחלק הקודם. לכן נשתמש בה ובמשפט דה-מואבר עבור מספרים גדולים מאפס, ונקבל:

 


הפרק הקודם:
המישור המרוכב וההצגה הקוטבית
משפט דה-מואבר
תרגילים
הפרק הבא:
בניה פורמלית של המספרים המרוכבים