מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/בניה פורמלית של המספרים המרוכבים

בניה פורמלית של המספרים המרוכבים

פרק זה מיועד להעשרה ואינו נכלל בחומר הלימוד.

הקדמה

עד עתה למדנו מהם המספרים המרוכבים, כיצד ניתן לבצע עליהם את פעולות החשבון הבסיסיות וכיצד ניתן לתאר אותם במספר דרכים שונות. כלומר, התמקדנו בהיבט הפונקציונלי יותר שלהם. טרם ענינו על השאלה כיצד הם נבנים, ומדוע בניה זו חוקית בכלל.

הדרך שבה נקטנו כשבאנו לתאר את המספרים המרוכבים הייתה להניח שקיים מספר $\ i$ שמקיים $\ i^{2}=-1$. למרות שניתן לנקוט בדרך פעולה זו היא שרירותית למדי, ומקנה תחושה שהמספרים המרוכבים הם לא טבעיים ובשל כך גם נקרא $\ i$ "מספר מדומה", שכן שמו ניתן לו כאשר החל השימוש במספרים המרוכבים והם טרם נבנו פורמלית. בדרך פעולה זו אנחנו גם לוקחים סיכון שנגיע לסתירות - כל הנחה שרירותית שלנו עלולה לגרום להתנגשות שאנחנו לא ציפינו לה עם הכללים הקיימים.

על כן, אנו רוצים למצוא דרך לתאר את המספרים הממשיים על ידי אובייקטים מתמטיים שכבר נבנו בצורה פורמלית בעצמם. בפרק זה אובייקטים אלו יהיו המספרים הממשיים. לא ניכנס לשאלה כיצד נבנים המספרים הממשיים - זוהי בנייה מסובכת יותר מזו של המספרים המרוכבים. נעיר רק שהם ניתנים לבניה מהמספרים הרציונליים, שבתורם ניתנים לבניה מהמספרים השלמים, שבתורם ניתנים לבניה מהמספרים הטבעיים שבתורם ניתנים לבניה על ידי מושג הקבוצה, שמשמש בתור המושג הבסיסי שאיתו עובדים.

נציג כאן שתי דרכי בניה שונות, אך כמובן בעלות אותה תוצאה סופית. הדרך הראשונה היא ישירה ומבוססת על התכונות שלמדנו של המספרים המרוכבים. הדרך השנייה היא מורכבת יותר אך גם עמוקה יותר, ומהווה מקרה פרטי של תהליך כללי השייך לתחום הנקרא תורת השדות. גם אם לא תצליחו להבין במלואה את הדרך השנייה - אל חשש! דרך זו מבוססת על חומר תיאורטי רב שלא נביא כאן, ועל כן עלולה להיות בלתי ברורה.

הדרך הראשונה

בפרק העוסק במישור המרוכב ראינו שיש התאמה בין המספרים המרוכבים ובין המישור האוקלידי. ביתר פירוט: לכל מספר מרוכב קיים זוג סדור של מספרים ממשיים שמתאים לו. אם כך, מדוע לא להגדיר את המספרים המרוכבים בתור זוגות של מספרים ממשיים? כלומר, לחשוב על הזוג $\ (a,b)$ בתור המספר $\ a+bi$.

אין שום דבר שמונע מאיתנו לעבוד עם זוגות של מספרים ממשיים, אבל נותרת שאלה אחת: אם אנחנו רוצים להגדיר פעולות כפל וחיבור על זוגות של מספרים ממשיים, איך נגדיר אותן?

ניתן לחשוב על הגדרה "טבעית" מיידית: נחבר ונכפול כל זוג רכיב רכיב. כלומר, אם $\ (a,b),(c,d)$ הם שני זוגות של מספרים ממשיים, נגדיר חיבור וכפל בצורה הזו:

$\ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ $\ (a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)$

דרך זו נראית הגיונית. הבעיה היא שאוסף הזוגות שנקבל לא יזכיר את המספרים המרוכבים בכל הנוגע לפעולת הכפל. לדוגמה, נביט במספר המרוכב $\ 1+i$. אם נכפול אותו בעצמו נקבל:

$\ (1+i)(1+i)=1+2i+i^{2}=2i$

ולעומת זאת, על פי הכפל שהגדרו יתקיים $\ (1,1)(1,1)=(1,1)$.

ולכן הכפל שהגדרנו אינו טוב.

מצד שני, אין שום מניעה שנגדיר את הכפל בצורה שונה. אנחנו זוכרים כי עבור מספרים מרוכבים מתקיים $\ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$, ולכן הגיוני להגדיר את הכפל של זוגות המספרים הממשיים כך:

$\ (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad)$

הגדרה זו הייתה עלולה להיראות משונה למי שאינו יודע שמטרתנו ליצור את המספרים המרוכבים, ולכן חשוב להבין שהיא נבחרה כך שתישמר התכונה המבוקשת של המספרים המרוכבים: קיום של מספר שריבועו הוא מינוס 1.

לא קשה למצוא מספר זה: על פי כלל הכפל שהגדרנו, מתקיים: $\ (0,1)(0,1)=(-1,0)$

ולכן, אם נחשוב על הזוג $\ (a,b)$ כמציין את המספר $\ a+bi$, אנחנו רואים כי קיבלנו בדיוק את מה שרצינו.

למעשה, אנחנו רואים כי ההבדל היחיד בין אוסף המספרים מהצורה $\ a+bi$ ואוסף הזוגות $\ (a,b)$ הוא בצורת הסימון בלבד. בכל הנוגע לפעולות החיבור והכפל, שתי קבוצות אלו זהות לגמרי. על שתי קבוצות שהן זהות בתכונות שחשובות לנו (במקרה זה - כפל וחיבור) פרט לסימון האיברים שבהן נהוג לומר שהן איזומורפיות (ביטוי שנגזר מהמילים היווניות "איזו" - זהה ו-"מורפיזם" - צורה).

הדרך השנייה

כעת ננסה לראות מהי הדרך הכללית יותר לבנות את המספרים המרוכבים. דרך זו היא מקרה פרטי של פעולה הנקראת הרחבת שדות. לשם כך נסביר קודם כל מהו שדה.

שדות

באלגברה המילה "שדה" באה לתאר קבוצה שמוגדרות עליה פעולות של חיבור וכפל, ומקיימת מספר תכונות הקשורות לחיבור ולכפל שמבטיחות שהתנהגות הקבוצה תהיה דומה לזו של המספרים הרציונליים. נביא כעת את רשימת התכונות הללו. למרות אורכה היחסי, אין בה כמעט שום דבר חדש: אנחנו פשוט נציין תכונות שאנחנו מכירים כבר זמן רב מהמספרים הרציונליים והממשיים.

1. פעולות החיבור והכפל הן אסוציאטיביות כל אחת לחוד - כלומר, אינן תלויות בסדר ההפעלה שלהן. כלומר, מתקיים $\ (ab)c=a(bc),(a+b)+c=a+(b+c)$.
2. פעולות החיבור והכפל הן קומוטטיביות כל אחת לחוד - כלומר, אינן תלויות בסדר הפנימי של האיברים שעליהן הן פועלות. כלומר, מתקיים $\ ab=ba,a+b=b+a$. ייתכן שאתם מכירים תכונה זו בתור חוק החילוף.
3. קיים איבר נייטרלי לפעולת הכפל, ואיבר נייטרלי לפעולת החיבור. כלומר, קיימים איברים שמסמנים אותם בתור $\ 0,1$ ואשר מקיימים לכל איבר $\ a$ את התכונה הבאה: $\ a\cdot 1=a,a+0=a$. במקרה זה אומרים כי $\ 0$ הוא נייטרלי לחיבור ו-$\ 1$ הוא נייטרלי לכפל.
4. קיים איבר נגדי לפעולת החיבור עבור כל איבר אחר. איבר נגדי של איבר כלשהו הוא כזה שסכום שניהם הוא האיבר הנייטרלי לחיבור. כלומר, לכל $\ a$ קיים איבר שמסומן $\ -a$ כך שמתקיים $\ a+(-a)=0$.
5. קיים איבר הופכי לפעולת הכפל עבור כל איבר אחר פרט ל-$\ 0$. איבר הופכי דומה לאיבר נגדי, אך עבור פעולת הכפל: עבור $\ a\neq 0$ מסמנים את ההופכי בתור $\ a^{-1}$ (או $\ {\frac {1}{a}}$) ומתקיים $\ a\cdot a^{-1}=1$.
6. פעולת הכפל היא דיסטריביוטיבית מעל החיבור, כלומר מתקיים $\ a\cdot (b+c)=ab+ac$. ייתכן שאתם מכירים תכונה זו בתור חוק הפילוג.

תכונות אלו מכונות אקסיומות השדה. נשים לב כי הן אינן "אקסיומות" במובן שאנו מכירים מגאומטריה - כלומר, משפטי בסיס שאין מערערים על נכונותם. אקסיומות אלו הן פשוט רשימת התכונות שמגדירות מהו שדה. יכולות להיות קבוצות רבות ושונות שעבורן התכונות הללו מתקיימות, ולכולן נקרא שדה. למשל, המספרים הרציונליים, המספרים הממשיים והמספרים המרוכבים מהווים שדות. החשיבות שבהגדרת השדה היא שאם נוכיח משפטים תוך התבססות על תכונות אלו בלבד, המשפטים יהיו נכונים עבור כל אחת מאותן קבוצות רבות ושונות שהן שדה. מתברר כי תכונות אלו מספיקות עבור תורה עשירה מאוד, שכאן ניגע רק בחלק קטן ממנה. למשל, מתכונות השדה ניתן להוכיח מייד כי $\ 0\cdot a=0$ לכל $\ a$. נראה זאת:

$\ 0\cdot a=(0+0)\cdot a=0\cdot a+0\cdot a$ וכעת נעביר אגפים ונקבל את התוצאה. השתמשנו כאן בכך ש-$\ 0$ הוא האיבר הנייטרלי (ולכן $\ 0+0=0$) ובדיסטריביוטיביות. בשל תוצאה זו איננו דורשים שיהיה הופכי גם ל-$\ 0$: מכיוון ש-$\ 0\cdot a=0$ לכל $\ a$, לא ייתכן שיהיה $\ a$ עבורו $\ 0\cdot a=1$! (זוהי גם הסיבה מדוע חלוקה ב-$\ 0$ לרוב אינה מוגדרת עבור מספרים).

כאמור, הדוגמאות הבסיסיות לשדות הן המספרים הרציונליים והמספרים הממשיים. המספרים השלמים אינם שדה כי אין בהם הופכי לפעולת הכפל. למשל, $\ {\frac {1}{2}}$ אינו מספר שלם ולכן ל-$\ 2$ אין הופכי (המספרים השלמים נקראים חוג, שזהו מקרה כללי יותר של שדה, אך לא ניכנס לכך כאן). קיימות דוגמאות רבות אחרות שלא נציג כאן, אך נשים לב כי אפילו הקבוצה שמכילה רק את המספרים $\ 0,1$ כאשר פעולות החיבור והכפל מוגדרות כרגיל פרט לכך ש-$\ 1+1=0$ מהווה שדה!

פולינומים

כעת נלמד על פולינומים והקשר שלהם למשוואות.

ודאי כבר נתקלתם בפולינומים בעבר. מספר דוגמאות לפולינומים הן:

1. $\ x^{2}+1$
2. $\ 5x^{3}+2x$
3. $\ 12x^{6}+4x^{3}+x^{2}+13$

וכדומה. באופן כללי, פולינום הוא ביטוי מהצורה

$\ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}$

כאשר $\ a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{1},a_{0}$ הם פרמטרים שנקראים מקדמי הפולינום.

$\ n$ יכול להיות כל מספר טבעי. מקדמי הפולינום יכולים להיות גם $\ 0$, אך נהוג כי המקדם של החזקה הגבוהה ביותר בפולינום יהיה שונה מ-$\ 0$, אחרת נקבל כמה הצגות שונות לאותו פולינום. למשל, הפולינום מס' 1 מהדוגמה הקודמת יכול להיכתב גם בצורה הזו:

$\ 0\cdot x^{3}+x^{2}+1$

לחזקה הגבוהה ביותר של פולינום שהמקדם שלה שונה מאפס קוראים דרגת הפולינום. בדוגמאות שהבאנו הפולינום הראשון הוא מדרגה 2, השני מדרגה 3 והשלישי מדרגה 6.

ניתן לחשוב על פולינום כעל תבנית או כעל פונקציה שמקבלת ערכים שונים של $\ x$ , ומציבה אותם בפולינום. למשל, הצבה של $\ 3$ בפולינום הראשון שבדוגמה תחזיר:

$\ 3^{2}+1=9+1=10$

אך ניתן לחשוב על הפולינומים גם כעל אובייקטים העומדים בפני עצמם וניתן לחבר ולכפול אותם על פי כללי החיבור והכפל הרגילים.

הקשר בין משוואות ופולינומים ברור: אם מספר כלשהו הוא פתרון של המשוואה $\ a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0$, אז ההצבה של אותו מספר בפולינום $\ a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}$ תחזיר 0. למספר כזה קוראים אפס של הפולינום, או שורש של הפולינום. שימו לב כי המילה "שורש" מופיעה כאן במשמעות שונה מהמשמעות המקובלת שלה.

עד עכשיו המקדמים של הפולינום היו תמיד מספרים, וכך הם יהיו גם בשימוש שאנו נעשה בפולינומים, אך באופן כללי ניתן לבחור מקדמים מכל קבוצת איברים שמוגדרות עליה פעולות של כפל וחיבור. בשל כך התהליך שנראה בהמשך ניתן לביצוע עבור כל שדה, ולא רק עבור המספרים הממשיים.

חלוקת פולינומים

לפני שנראה כיצד הפולינומים משמשים בהרחבת שדות אנחנו צריכים לדעת עוד דבר אחד: כיצד מתבצעת חלוקת פולינומים. חלוקת פולינומים דומה מאוד לחילוק ארוך עם שארית. התהליך עצמו הוא טכני ואינו מסובך במיוחד, אך לא ניכנס אליו כאן מאחר שאין זה הכרחי למה שאנו עומדים לעשות. אנו מתעניינים בעיקר בתוצאת החילוק. אם $\ p(x)$ הוא פולינום ואנו רוצים לחלק אותו בפולינום $\ q(x)$, התוצאה תהיה פולינום אחר, שהוא המנה של החלוקה, ופולינום שהוא השארית של החלוקה. ניתן לתאר זאת על ידי המשוואה הבאה:

$\ p(x)=q(x)s(x)+r(x)$

כאן $\ s(x)$ הוא פולינום המנה, ואילו $\ r(x)$ הוא פולינום השארית. לפולינום השארית תכונה חשובה: הדרגה שלו קטנה מזו של $\ q(x)$.

למשל, אם נחלק את הפולינום השלישי מהדוגמאות בפולינום הראשון נקבל:

$\ 12x^{6}+4x^{3}+x^{2}+13=(x^{2}+1)(12x^{4}-12x^{2}+4x+13)+(-4x)$

אתם יכולים לנסות ולבצע את פעולות הכפל והחיבור באגף ימין ולראות שאכן מתקבל אגף שמאל.

בניית שדה המרוכבים

כעת נראה כיצד מקבלים משדה המספרים הממשיים שדה חדש, שתכונותיו יהיו התכונות שאנו רוצים משדה המספרים המרוכבים.

הרעיון הבסיסי הוא ליצור שדה שאבריו יהיו פולינומים מסויימים. נבחר את אברי השדה להיות כל הפולינומים שיכולים להתקבל כשאריות של חילוק בפולינום $\ x^{2}+1$ עם מקדמים שהם מספרים ממשיים. כלומר, כל הפולינומים מדרגה 1 לכל היותר. לפולינומים אלו הצורה הכללית $\ a+bx$ כאשר $\ a,b$ הם מספרים ממשיים.

את פעולת החיבור נגדיר כרגיל, אבל פעולת הכפל תוגדר כך: ראשית יש לבצע כפל פולינומים רגיל, אבל את התוצאה יש לחלק ב-$\ x^{2}+1$ ולקחת את השארית של החלוקה בתור הפתרון.

למשל, נכפול את האיברים $\ x+3,2x+1$:

$\ (x+3)(2x+1)=2x^{2}+7x+3$ על פי הגדרת הכפל הרגילה של פולינומים.

נחלק את $\ 2x^{2}+7x+3$ בפולינום $\ x^{2}+1$:

$\ 2x^{2}+7x+3=2(x^{2}+1)+(7x+1)$

ולכן נגדיר את הכפל בצורה המיוחדת כך:

$\ (x+3)(2x+1)=7x+1$

כעת נראה כיצד מתבצע כפל פולינומים בצורה כללית:

$\ (a+bx)(c+dx)=ac+(ad+bc)x+bdx^{2}$

ולאחר חילוק נקבל:

$\ ac+(ad+bc)x+bdx^{2}=bd(x^{2}+1)+(ac-bd)+(ad+bc)x$

ודאי כבר שמתם לב לדמיון לפעולת הכפל במספרים מרוכבים.

כעת נזהה כל אחד מהפולינומים עם מספר מרוכב: את הפולינום $\ a+bx$ נזהה עם המספר המרוכב $\ a+bi$. ניתן להראות כי פרט לצורת הסימון השונה, אוסף המספרים המרוכבים זהה לאוסף הפולינומים עם הפעולות המיוחדות שהוגדרו.

הרחבת שדות

ראינו כיצד השיטה מתבצעת, אבל טרם הראנו את הרעיון הכללי שעומד מאחוריה.

ראשית, כאשר הסתכלנו רק על אוסף השאריות האפשריות של חלוקה בפולינום מסויים והגדרנו את הכפל באמצעות חלוקה זו ביצענו תהליך כללי יותר, שנקרא בניית חוג מנה. לא ניכנס כאן בפירוט לתהליך הזה, אך נציין כי הרעיון הכללי שעומד מאחוריו הוא לקחת את אבריה של קבוצה עם פעולות כפל וחיבור, למצוא מכנה משותף כלשהו בין חלק מאיבריה ולהתייחס לכל אותם איברים זהים כאל איבר יחיד. במקרה שלנו, התכונה המשותפת שמצאנו היא שארית זהה בחלוקה ב-$\ x^{2}+1$: התייחסנו לכל הפולינומים שמשאירים אותה שארית כפולינום אחד, אשר מיוצג על ידי הפולינום של אותה שארית.

שנית, אף שהתהליך התבצע עם הפולינום $\ x^{2}+1$ אין מניעה לבצע אותו עם פולינומים אחרים. ניתן להוכיח כי בכל מקרה שבו אנו מבצעים את התהליך עם פולינום שהוא אי פריק (כלומר, לא ניתן לכתיבה כמכפלה של פולינומים ממעלות נמוכות יותר) מקבלים שדה, ובשדה זה קיים לפולינום שאיתו ביצענו את התהליך שורש.

הפרק הקודם: משפט דה-מואבר

בניה פורמלית של המספרים המרוכבים תרגילים

הפרק הבא: המשפט היסודי של האלגברה