מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/אי-שוויונות לוגריתמיים

בחלק זה של הספר יוסבר כיצד לפתור אי-שוויונות לוגריתמיים, למשל:

$\log(x)>\log(x+2)$

אופן הפתרון

יש לשים לב למספר דברים. ראשית כל, יש לבדוק מהו תחום ההגדרה של הלוגריתמים אשר בשאלה, שכן אחד מהפתרונות שנקבל בסוף דבר לאי השוויון עלול שלא להיות בתחום ההגדרה. שנית, יש לזכור היטב את חוקי הלוגריתמים והגדרתו. אלו עלולים להיות חיוניים בפתרון אי-השוויון. נושאים אלו נדונו כבר בפרק הלוגריתמים.

דוגמאות

דוגמא א'

$\log _{3}(81x)\cdot \log _{3}(x)>-4$

כיון שהמספר שבתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי, תחום ההגדרה הוא:

$x>0$

נשתמש בחוקי הלוגריתמים כדי לפשט את אי-השוויון.

${\begin{matrix}{\big (}\log _{3}(81)+\log _{3}(x){\big )}\cdot \log _{3}(x)>-4\\\\{\big (}\log _{3}(3^{4})+\log _{3}(x){\big )}\cdot \log _{3}(x)>-4\\\\{\big (}4\log _{3}(3)+\log _{3}(x){\big )}\cdot \log _{3}(x)>-4\\\\{\big (}4+\log _{3}(x){\big )}\cdot \log _{3}(x)>-4\end{matrix}}$

נסמן $t=\log _{3}(x)$ .

${\begin{matrix}t(t+4)>-4\\\\t^{2}+4t+4>0\\\\(t+2)^{2}>0\end{matrix}}$

כיון שהביטוי באגף השמאלי הוא תחת חזקה זוגית, הוא תמיד יהיה חיובי או 0. הוא מתאפס עבור $t=-2$ ולכן נכתוב:

${\begin{matrix}t\neq -2\\\\\log _{3}(x)\neq -2\\\\x\neq {\dfrac {1}{9}}\end{matrix}}$

בשילוב עם תחום ההגדרה שמצאנו, ניתן לכתוב את הפתרון בשני דרכים:

$x>0$ וגם $x\neq {\frac {1}{9}}$

$0<x<{\frac {1}{9}}$ או $x>{\frac {1}{9}}$

דוגמא ב'

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.