מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/חוקי הלוגריתמים

חוקי הלוגריתמים

נזכור תמיד כי לכל לוגריתמים יש תחום ההגדרה כפי שהוצג בפרק הראשון.

החוק	הנוסחה	דוגמה	הוכחת החוק
הגדרת הלוגריתם	$a^{b}=x\Leftrightarrow \log _{a}(x)=b$
מעבר בסיסים	במידה ונרצה לחשב לוגריתם בבסיס אחר (ראה הערות), לכל $(c>0)a,c\neq 1$ מתקיים: $\log _{a}(b)={\frac {\log _{c}(b)}{\log _{c}(a)}}$		${\begin{matrix}(1)&a^{b}=x\\(2)&\log _{a}(x)=b\end{matrix}}$ עכשיו נוציא משני האגפים של (2) לוגריתם בבסיס $c$ : ${\begin{matrix}\log _{c}(a^{b})=\log _{c}(x)\\\\b\cdot \log _{c}(a)=\log _{c}(x)\\\\\log _{a}(x)\cdot \log _{c}(a)=\log _{c}(x)\\\\\log _{a}(x)={\dfrac {\log _{c}(x)}{\log _{c}(a)}}\end{matrix}}$
הרחבת הגדרת הלוגריתם	$a^{\log _{a}(x)}=x$		${\begin{matrix}(1)&a^{b}=x\\(2)&\log _{a}(x)=b\end{matrix}}$ נציב את (2) ב-(1) ונקבל: $a^{\log _{a}(x)}=x$
לוגריתם של מכפלת שני מספרים	$\log _{a}(x\cdot y)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$		${\begin{matrix}(1)&a^{b}=x\quad ,\quad a^{c}=y\\(2)&\log _{a}(x)=b\quad ,\quad \log _{a}(y)=c\end{matrix}}$ בנוסף, נכפיל את המשוואות הרשומות ב-(1) אחת בשניה, ונפתח את הביטוי בעזרת חוקי החזקות והלוגריתמים: ${\begin{matrix}a^{b}\cdot a^{c}=x\cdot y\\a^{b+c}=x\cdot y\\\log _{a}(x\cdot y)=b+c\\\\\log _{a}(x\cdot y)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)\end{matrix}}$
לוגריתם של מנת שני מספרים	$\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$		${\begin{matrix}(1)&a^{b}=x\quad ,\quad a^{c}=y\\(2)&\log _{a}(x)=b\quad ,\quad \log _{a}(y)=c\end{matrix}}$ בנוסף, נחלק את המשוואות הרשומות ב-(1) אחת בשניה, ונפתח את הביטוי בעזרת חוקי החזקות והלוגריתמים: ${\begin{matrix}{\dfrac {a^{b}}{a^{c}}}={\dfrac {x}{y}}\\a^{b-c}={\dfrac {x}{y}}\\\log _{a}\left({\dfrac {x}{y}}\right)=b-c\\\\\log _{a}\left({\dfrac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)\end{matrix}}$
לוגריתם של חזקה	$\log _{a}(x^{n})=n\cdot \log _{a}(x)$ (לא להתבלבל עם חזקה על הלוגריתם כולו $log_{a}^{2}x=(log_{a}x)^{2}$) בהתאם לחוקי חזקות ${\displaystyle {({\sqrt[{n}]{a}})}^{n}={a}^{\frac {n}{n}}=a}$ נוכל לטעון כי $log_{a}({\sqrt[{n}]{x}})={\frac {1}{n}}log_{a}x$		${\begin{matrix}(1)&a^{b}=x\\(2)&\log _{a}(x)=b\end{matrix}}$ בנוסף, נעלה את שני אגפי משוואה (1) בחזקת $n$ . נקבל: ${\begin{matrix}(a^{b})^{n}=x^{n}\\a^{bn}=x^{n}\\\log _{a}(x^{n})=bn\\\\\log _{a}(x^{n})=n\cdot \log _{a}(x)\end{matrix}}$
לוגריתם של חזקה - לא לבגרות	בהתאם לחוקי חזקות ${\displaystyle \ {\log _{a}b}\cdot {\log _{c}d}={\log _{c}b}\cdot {\log _{a}d}}$ מפני שלאחר הוצאת הלוגריתמים מתקבל אותה תוצאה, $c^{\log _{c}(ab)}=ab\Leftrightarrow c^{\log _{c}a+\log _{c}b}=c^{\log _{c}a}c^{\log _{c}b}=ab$ $\log _{b^{n}}(x)={\frac {logx}{log{a^{n}}}}={\frac {1}{n}}\log _{a}(x)$ $\log _{a^{n}}(b)={\frac {\log _{a}(b)}{n}}$ מתוך נוסחת המעבר וחוק כפל לוגריתמים : $\log _{a}(b)={\frac {\log _{b}(b)}{\log _{b}(a)}}={\frac {1}{\log _{b}(a)}}$
מספר קבוע	$\log _{a}(1)=0$ ($a\neq 1$ ו-$a>0$)
מספר קבוע	$log_{a}(a)=1$ ($a\neq 1$ ו-$a>0$)

על הבסיס המיוחד $e$ לומדים יותר בפירוט בזמן לימודי החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

כאשר יש לפנינו לוגריתם ללא בסיס לדוגמה, $log9$ הכוונה ללוגריתם שבסיסו $10$ כלומר $log_{10}9$

שימוש במחשבון

1. כיום יש מחשבונים מתקדמים בהם ניתן לחשב בסיס שאינו 10 אך למי שאין ניתן להעזר בנוסחת המעבר בכדי לחשב בסיס שונה מ-10. לדוגמא: $\log _{4}(7)={\frac {\log _{10}(7)}{\log _{10}(4)}}={\frac {\log(7)}{\log(4)}}\approx {\frac {0.845}{0.602}}\approx 1.40$
2. במחשבון קיים בסיס מובנה נוסף ללוגריתמים: $e$ . הסימון המתמטי ללוגריתם בבסיס זה הוא $\log _{e}(x)=\ln(x)$ (יש לבטא "לַאן"). לכן את אותו החישוב יכולנו לעשות באמצעות הפונקציה $\ln$ :

$\log _{4}(7)={\frac {\log _{e}(7)}{\log _{e}(4)}}={\frac {\ln(7)}{\ln(4)}}\approx {\frac {1.94}{1.38}}\approx 1.40$