מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות/בסיס משתנה

בדומה למשוואה מעריכית עם בסיס קבוע, נשאף להגיע למצב בו הבסיסים זהים אחד לשני. בנוסף נבצע מספר שלבים נוספים:

  • תחום הגדרה - נבדוק מה הם הערכים בהם הבסיס חיובי
  • מעריך החזקה שווה ל-0 - כיון שלכל מתקיים , יש לבדוק מקרה יחודי זה. לאחר מציאת הערך בו החזקה שווה ל-0, נציב בבסיסים ונבדוק אם גם הם שונים מ-0. אין חשיבות לתוצאה המתקבלת בבסיסים אך כן חשוב שהתוצאה תהיה שונה מ-0 (מפני שאין הגדרה לערך )
  • בסיס החזקה - כיון ש- לכל , יהיה צורך לבדוק מה קורה אם שני הבסיסים שווים ל-1 (במקרה כזה לא משנה מה יהיה המעריך, המשוואה תמיד תתקיים). דוגמא לכך תינתן בהמשך.

דוגמאות

עריכה

דוגמה 1: בסיס משתנה  

תחום ההגדרה:
 
המעריך שווה 0
 

נעזר בנוסחת השורשים:  

נציב בבסיס את הפתרון:   . בשני המקרים הבסיסים שונים מ-0 ולכן יש לכלול פתרונות אלו.

אם כן התוצאות הנן  

מקרה א': הבסיסים שווים 1
 

נבצע בדיקה על-ידי הצבה בכדי לאשרר פתרון זה ונציב את ערך   במשוואה   .

נקבל   ולבסוף  

כלומר פתרון נוסף הנו  

מקרה ב': פתירת התרגיל

כיון שהבסיסים שווים תמיד, אזי אם מעריכי החזקות יהיו שווים ולכן נשווה את המעריכים ונקבל:

 

מאחר ש-   הפתרון   נשלל.

פתרונות המשוואה
 



דוגמה 2: בסיס משתנה עבור  

תחום ההגדרה:
 
מקרה א': מעריך החזקה שווה 0 והבסיס שונה ממנו.
 

נציב   בבסיס ונקבל   . מאחר והבסיס המתקבל שונה מ-0 נכלול אותו בפתרונות (ובכלל הביטוי   מחוץ לתחום ההגדרה).

מקרה ב': בסיס החזקה שווה 1

 

שתי פתרונות אלו נמצאים בתחום הגדרה ולכן הם תקפים.

פתרונות המשוואה