מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות/בסיס משתנה

בדומה למשוואה מעריכית עם בסיס קבוע, נשאף להגיע למצב בו הבסיסים זהים אחד לשני. בנוסף נבצע מספר שלבים נוספים:

• תחום הגדרה - נבדוק מה הם הערכים בהם הבסיס חיובי
• מעריך החזקה שווה ל-0 - כיון שלכל $a\neq 0$ מתקיים $a^{0}=1$ , יש לבדוק מקרה יחודי זה. לאחר מציאת הערך בו החזקה שווה ל-0, נציב בבסיסים ונבדוק אם גם הם שונים מ-0. אין חשיבות לתוצאה המתקבלת בבסיסים אך כן חשוב שהתוצאה תהיה שונה מ-0 (מפני שאין הגדרה לערך $0^{0}$)
• בסיס החזקה $a=1$ - כיון ש- $1^{a}=1$ לכל $a$ , יהיה צורך לבדוק מה קורה אם שני הבסיסים שווים ל-1 (במקרה כזה לא משנה מה יהיה המעריך, המשוואה תמיד תתקיים). דוגמא לכך תינתן בהמשך.

דוגמאות

דוגמה 1: בסיס משתנה $(x-6)^{3}=(x-6)^{x^{2}-5x-11}$ תחום ההגדרה: ${\begin{matrix}x-6>0\\x>6\end{matrix}}$ המעריך שווה 0 $x^{2}-5x-11=0$ נעזר בנוסחת השורשים: ${\frac {5\pm {\sqrt {(-5)^{2}-4(-11)}}}{2\cdot 1}}={\frac {5\pm {\sqrt {69}}}{2}}$ נציב בבסיס את הפתרון: $\pm {\frac {5+{\sqrt {69}}}{2}}-6$ . בשני המקרים הבסיסים שונים מ-0 ולכן יש לכלול פתרונות אלו. אם כן התוצאות הנן $x_{1}={\frac {5+{\sqrt {69}}}{2}}\quad ,\quad x_{2}={\frac {5-{\sqrt {69}}}{2}}$ מקרה א': הבסיסים שווים 1 ${\begin{matrix}x-6=1\\x=7\end{matrix}}$ נבצע בדיקה על-ידי הצבה בכדי לאשרר פתרון זה ונציב את ערך $x$ במשוואה $(7-6)^{3}=(7-6)^{7^{2}-5\cdot 7-11}$ . נקבל $(7-6)^{3}=(7-6)^{49-35-11}$ ולבסוף $(7-6)^{3}=(7-6)^{3}$ כלומר פתרון נוסף הנו $x_{1}={\frac {5+{\sqrt {69}}}{2}}\quad ,\quad x_{2}={\frac {5-{\sqrt {69}}}{2}}$ מקרה ב': פתירת התרגיל כיון שהבסיסים שווים תמיד, אזי אם מעריכי החזקות יהיו שווים ולכן נשווה את המעריכים ונקבל: ${\begin{matrix}3=x^{2}-5x-11\\x^{2}-5x-14=0\\x_{1,2}={\dfrac {-(-5)\pm {\sqrt {(-5)^{2}-4(-14)}}}{2\cdot 1}}={\dfrac {5\pm {\sqrt {25+56}}}{2}}={\dfrac {5\pm 9}{2}}\\x_{1}={\dfrac {5+9}{2}}={\dfrac {14}{2}}=7\\x_{2}={\dfrac {5-9}{2}}={\dfrac {-4}{2}}=-2\\\end{matrix}}$ מאחר ש- $x>6$ הפתרון $x_{2}=-2$ נשלל. פתרונות המשוואה $x_{1}=7\quad ,\quad x_{2}={\frac {5+{\sqrt {69}}}{2}}\quad ,\quad x_{3}={\frac {5-{\sqrt {69}}}{2}}$

דוגמה 2: בסיס משתנה עבור $(x^{2}-x-11)^{x+5}=1$ תחום ההגדרה: ${\begin{matrix}x^{2}-x-11>0\\x_{1,2}={\dfrac {1\pm 3{\sqrt {5}}}{2}}\\x<{\dfrac {1-3{\sqrt {5}}}{2}}\quad ,\quad x>{\dfrac {1+3{\sqrt {5}}}{2}}\end{matrix}}$ מקרה א': מעריך החזקה שווה 0 והבסיס שונה ממנו. ${\begin{matrix}x+5=0\\x=-5\end{matrix}}$ נציב $x=-5$ בבסיס ונקבל $(-5)^{2}-(-5)-11=19$ . מאחר והבסיס המתקבל שונה מ-0 נכלול אותו בפתרונות (ובכלל הביטוי $x=-5$ מחוץ לתחום ההגדרה). מקרה ב': בסיס החזקה שווה 1 ${\begin{matrix}x^{2}-x-11=1\\x^{2}-x-12=0\\x_{1,2}={\dfrac {1\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4(-12)}}}{2\cdot 1}}={\dfrac {1\pm 7}{2}}\\x_{1}={\dfrac {1+7}{2}}=4\quad ,\quad x_{2}={\dfrac {1-7}{2}}=-3\\\end{matrix}}$ שתי פתרונות אלו נמצאים בתחום הגדרה ולכן הם תקפים. פתרונות המשוואה $x_{1}=-5\quad ,\quad x_{2}=4\quad ,\quad x_{3}=-3$