עריכה
דרך הפתרון של מערכת משוואות לוגריתמיות זהה לדרך הפתרון של משוואה לוגריתמית בנעלם אחד. ההבדל היחיד הוא, שבמערכת משוואות קיים צורך לבודד את אחד המשתנים. נראה כאן דוגמה:
{
(
I
)
4
x
+
2
y
=
16
(
I
I
)
16
x
−
3
y
=
−
2
{\displaystyle {\begin{cases}(I)&4^{x}+2y&=&16\\(II)&16^{x}-3y&=&-2\end{cases}}}
ניתן לשים לב, כי
16
x
=
(
4
2
)
x
=
(
4
x
)
2
{\displaystyle 16^{x}=(4^{2})^{x}=(4^{x})^{2}}
t
=
4
x
{\displaystyle t=4^{x}}
{
(
I
)
t
+
2
y
=
16
(
I
I
)
t
2
−
3
y
=
−
2
{\displaystyle {\begin{cases}(I)&t+2y&=&16\\(II)&t^{2}-3y&=&-2\end{cases}}}
כעת נפתור את המערכת, כמו מערכת רגילה- נחלץ ממשוואה (1) את
t
{\displaystyle t}
t
=
16
−
2
y
{\displaystyle t=16-2y}
נציב את מה שקיבלנו ממשוואה (1), בתוך משוואה (2):
(
16
−
2
y
)
2
−
3
y
=
−
2
256
−
64
y
+
4
y
2
−
3
y
=
−
2
4
y
2
−
67
y
+
256
=
−
2
4
y
2
−
67
y
+
258
=
0
y
1
,
2
=
67
±
19
8
y
1
=
10.75
,
y
2
=
6
{\displaystyle {\begin{matrix}(16-2y)^{2}-3y=-2\\256-64y+4y^{2}-3y=-2\\4y^{2}-67y+256=-2\\4y^{2}-67y+258=0\\y_{1,2}={\frac {67\pm 19}{8}}\\y_{1}=10.75\quad ,\quad y_{2}=6\end{matrix}}}
כעת, נבדוק עבור ערכי
y
{\displaystyle y}
t
{\displaystyle t}
x
{\displaystyle x}
עבור
y
1
=
10.75
{\displaystyle y_{1}=10.75}
t
1
=
16
−
2
y
1
=
16
−
2
⋅
10.75
=
−
5.5
t
1
=
4
x
1
=
−
5.5
{\displaystyle {\begin{matrix}t_{1}=16-2y_{1}=16-2\cdot 10.75=-5.5\\\\t_{1}=4^{x_{1}}=-5.5\end{matrix}}}
תוצאת חזקה של מספר חיובי תמיד חיובית, לכן
y
1
=
10.75
{\displaystyle y_{1}=10.75}
אינו פתרון למערכת .
עבור
y
2
=
6
{\displaystyle y_{2}=6}
t
2
=
16
−
2
y
2
=
16
−
2
⋅
6
=
4
t
2
=
4
x
2
=
4
x
2
=
1
{\displaystyle {\begin{matrix}t_{2}=16-2y_{2}=16-2\cdot 6=4\\\\t_{2}=4^{x_{2}}=4\\\\x_{2}=1\end{matrix}}}
וזהו הפתרון היחיד למערכת המשוואות:
(
1
,
6
)
{\displaystyle (1,6)}
