מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים
עריכה
דרך הפתרון של מערכת משוואות לוגריתמיות זהה לדרך הפתרון של משוואה לוגריתמית בנעלם אחד. ההבדל היחיד הוא, שבמערכת משוואות קיים צורך לבודד את אחד המשתנים. נראה כאן דוגמה:
{
(
I
)
4
x
+
2
y
=
16
(
I
I
)
16
x
−
3
y
=
−
2
{\displaystyle {\begin{cases}(I)&4^{x}+2y&=&16\\(II)&16^{x}-3y&=&-2\end{cases}}}
ניתן לשים לב, כי
16
x
=
(
4
2
)
x
=
(
4
x
)
2
{\displaystyle 16^{x}=(4^{2})^{x}=(4^{x})^{2}}
t
=
4
x
{\displaystyle t=4^{x}}
{
(
I
)
t
+
2
y
=
16
(
I
I
)
t
2
−
3
y
=
−
2
{\displaystyle {\begin{cases}(I)&t+2y&=&16\\(II)&t^{2}-3y&=&-2\end{cases}}}
כעת נפתור את המערכת, כמו מערכת רגילה- נחלץ ממשוואה (1) את
t
{\displaystyle t}
t
=
16
−
2
y
{\displaystyle t=16-2y}
נציב את מה שקיבלנו ממשוואה (1), בתוך משוואה (2):
(
16
−
2
y
)
2
−
3
y
=
−
2
256
−
64
y
+
4
y
2
−
3
y
=
−
2
4
y
2
−
67
y
+
256
=
−
2
4
y
2
−
67
y
+
258
=
0
y
1
,
2
=
67
±
19
8
y
1
=
10.75
,
y
2
=
6
{\displaystyle {\begin{matrix}(16-2y)^{2}-3y=-2\\256-64y+4y^{2}-3y=-2\\4y^{2}-67y+256=-2\\4y^{2}-67y+258=0\\y_{1,2}={\frac {67\pm 19}{8}}\\y_{1}=10.75\quad ,\quad y_{2}=6\end{matrix}}}
כעת, נבדוק עבור ערכי
y
{\displaystyle y}
t
{\displaystyle t}
x
{\displaystyle x}
עבור
y
1
=
10.75
{\displaystyle y_{1}=10.75}
t
1
=
16
−
2
y
1
=
16
−
2
⋅
10.75
=
−
5.5
t
1
=
4
x
1
=
−
5.5
{\displaystyle {\begin{matrix}t_{1}=16-2y_{1}=16-2\cdot 10.75=-5.5\\\\t_{1}=4^{x_{1}}=-5.5\end{matrix}}}
תוצאת חזקה של מספר חיובי תמיד חיובית, לכן
y
1
=
10.75
{\displaystyle y_{1}=10.75}
אינו פתרון למערכת .
עבור
y
2
=
6
{\displaystyle y_{2}=6}
t
2
=
16
−
2
y
2
=
16
−
2
⋅
6
=
4
t
2
=
4
x
2
=
4
x
2
=
1
{\displaystyle {\begin{matrix}t_{2}=16-2y_{2}=16-2\cdot 6=4\\\\t_{2}=4^{x_{2}}=4\\\\x_{2}=1\end{matrix}}}
וזהו הפתרון היחיד למערכת המשוואות:
(
1
,
6
)
{\displaystyle (1,6)}
