מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות כלליות

סדרות כלליות

סדרות כלליות, כך ניתן להסיק משמן, הן סדרות שאינן סדרה הנדסית או סדרה חשבונית. לרוב, החוקיות תהיה בעזרת סדרת ההפרשים, או סדרת הפרשי ההפרשים. את הסדרות הללו ניתן לפתור בעזרת טכניקה פשוטה ושינון מספר נוסחאות.

הנוסחאות

• האיבר הכללי, כלומר $\ a_{n}$ , הוא פונקציה של $\ n$ , וכך, על ידי הצבה ניתן למצוא את איברי הסדרה.

לדוגמא: נתון האיבר הכללי של סדרה: $\ a_{n}=n^{3}+1$. מצא את שלושת איבריה הראשונים.

דרך פתרון: נציב את $\ n=1$ בנוסחת האיבר הכללי הנתונה.

$\ a_{1}=1^{3}+1$

$\ a_{1}=1+1$

$\ a_{1}=2$

באופן דומה נמצא גם את שני האיברים הבאים:

$\ a_{2}=2^{3}+1$

$\ a_{2}=8+1$

$\ a_{2}=9$

$\ a_{3}=3^{3}+1$

$\ a_{3}=27+1$

$\ a_{3}=28$

• נוסחת האיבר הכללי לפי סדרת ההפרשים:

הרבה פעמים אנו מתבקשים למצוא את האיבר הכללי של סדרה כללית, כאשר נתונים מספר איברים מתוכה. בכדי למצוא אותו, אנו צריכים מספר דברים. ראשית את איברה הראשון של הסדרה, ושנית את סכום סדרת ההפרשים. הנוסחא המתבקשת היא: $\ a_{n}=a_{1}+S_{n-1}^{*}$ , כאשר ה* מסמנת הפרשים.

נקח דוגמא: מצא את האיבר הכללי של הסדרה הבאה: $\ -2,-2,0,4,10,...$

דרך פתרון: נתבונן בסדרת ההפרשים, שהיא: $\ 0,2,4,6,...$

אנו רואים שזוהי סדרה חשבונית, שאיברה הראשון ($\ a_{1}$) הוא 0, והפרשה ($\ d$) הוא 2. נמצא לפי הנוסחא של סכום סדרה חשבונית את סכומה.

תזכורת: הנוסחא לסכום סדרה חשבונית: $\ [2a_{1}+(n-1)d]\cdot n \over 2$ $\ S_{n}=$

נציב את הנתונים שברשותינו בנוסחא:

$[2\cdot 0+(n-1)\cdot 2]\cdot n \over 2$ $\ S_{n}=$

$(n-1)\cdot 2n \over 2$ $\ S_{n}=$

$\ n^{2}-n$ $\ S_{n}=$

כעת, בכדי למצוא את המבוקש, כלומר, $\ S_{n-1}$, נציב $\ n-1$ במקום $\ n$.

$\ S_{n-1}=(n-1)^{2}-(n-1)$

$\ S_{n-1}=n^{2}-3n+2$

כעת נחזור לסדרה המקורית. איברה הראשון הוא $\ -2$. נציב בנוסחא למציאת האיבר הכללי:

$\ a_{n}=-2+n^{2}-3n+2$

$\ a_{n}=n^{2}-3n$

וזהו, פתרנו את התרגיל.