מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קבוצות ותחומים/תחומי הצבה והגדרה

תחומי הצבהעריכה

במערכות משוואות ואי-שוויונות, לא תמיד ניתן להציב כל מספר כנעלם או משתנה. לעיתים אנו ניצבים בפני תרגיל שבו ניתן להציב רק תת-קבוצה של המספרים הממשיים. למשל, אם קיבלנו משוואה מהסוג:  , אז אסור להציב   מכיוון שחילוק ב-0 איננו מוגדר. במקרה זה, הקבוצה שמותר לנו להציב (שתקרא תחום ההצבה) היא הקבוצה שמכילה כל   פרט ל-5. את זה מסמנים כך:

 

למעשה, הסימון הזה אומר במובלע ש-  אינו 5 אך יכול להיות כל אחד אחר. כלומר, מותר להציב כל מספר פרט ל-5. כדוגמה נוספת, ניקח את המשוואה:

 

נקבל שאסור להציב 5 או 9. כלומר הקבוצה שאסור להציב היא  , אבל אנו מתבקשים למצוא את התחום שבו מותר להציב. התחום הזה הוא המשלים של התחום בו אסור להציב. כלומר, זה כל המספרים שהם לא המספרים 5 או 9. לפי חוקי דה-מורגן אנו מקבלים שקבוצה זו היא הקבוצה שלא מכילה את 5 וגם לא את 9 (בדוק!).
על מנת למצוא את תחומי ההצבה של משוואה זו או אחרת, עלינו ראשית למצוא את הקבוצה שבה אסור לנו להציב. לקבוצה זו אנו מוצאים את המשלים וזהו כאמור תחום ההצבה.

דוגמה 1עריכה

נתונה המשוואה:

 

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: נפתור את המשוואה   על מנת למצוא מתי השבר השמאלי במשוואה אינו מוגדר. הפתרון מתקבל מיידית, וקבוצת הפתרון היא  . בשבר השני כמובן אסור להציב 5, מכיוון שגם אז השבר לא מוגדר. מכאן שהקבוצה של המספרים אותם אסור לנו להציב היא הקבוצה   ומכאן שתחום ההצבה הוא:   וגם   וגם  .

דוגמה 2עריכה

נושא זה ידון שוב ביתר הרחבה בפרק אי־שוויונות. נניח שנתונה המשוואה:

 

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: לפי הגדרת השורש הריבועי במספרים הממשיים, אסור להציב בו מספרים שליליים. לכן, קבוצת ההצבה שלנו צריכה להיות כל ה- ים שמותר להציב, ולכן תחום ההצבה הוא   כפי שקל לראות (פתרון של אי-שיויונות ידון בהמשך הספר).
תשובה: תחום ההצבה המבוקש הוא  .

דוגמה 3עריכה

נתונה המשוואה:

 

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: לפי הגדרת השורש הריבועי במספרים הממשיים כאמור, אסור להציב בו מספרים שליליים. לכן, קבוצת ההצבה שלנו צריכה להיות כל ה- ים שמותר להציב, כלומר תחום ההצבה הוא   וגם  . שימו לב שמדובר כאן על קשר לוגי וגם בין שני התנאים אז אנו מחפשים את קבוצת החיתוך של שני התנאים. במקרה זה, ברור שאם   אז הוא גם   ואז החיתוך הוא בדיוק  . והתשובה הסופית היא: תחום ההצבה הוא:  .

דוגמה 4עריכה

נתונה המשוואה:

 

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: במקרה זה הפתרון הוא מעט שונה, אם כי השיטה זהה. ראשית, נבדוק מתי מותר להציב, כלומר, כאשר   וגם   אבל יש גם את השבר, אז צריך לדרוש גם ש- . זה חיתוך של כל שלושת הקבוצות הללו, כי על   לקיים את כל התנאים בו זמנית. התשובה תתקבל מ:   וגם   וגם   ולאחר פישוט מתקבלת התשובה הסופית:   וגם   ואת זה אפשר גם לכתוב כך:  .


הפרק הקודם:
קשרים לוגיים
תחומי הצבה והגדרה
תרגילים
הפרק הבא:
אי־שוויונות