מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קבוצות ותחומים/תחומי הצבה והגדרה

תחומי הצבה

במערכות משוואות ואי-שוויונות, לא תמיד ניתן להציב כל מספר כנעלם או משתנה. לעיתים אנו ניצבים בפני תרגיל שבו ניתן להציב רק תת-קבוצה של המספרים הממשיים. למשל, אם קיבלנו משוואה מהסוג: $4+{\frac {1}{x-5}}=3$, אז אסור להציב $\;x=5$ מכיוון שחילוק ב-0 איננו מוגדר. במקרה זה, הקבוצה שמותר לנו להציב (שתקרא תחום ההצבה) היא הקבוצה שמכילה כל $\;x$ פרט ל-5. את זה מסמנים כך:

$\;x\neq {5}$

למעשה, הסימון הזה אומר במובלע ש-$\;x$ אינו 5 אך יכול להיות כל אחד אחר. כלומר, מותר להציב כל מספר פרט ל-5. כדוגמה נוספת, ניקח את המשוואה:

$4+{\frac {1}{x-5}}-{\frac {1}{x-9}}=3$

נקבל שאסור להציב 5 או 9. כלומר הקבוצה שאסור להציב היא $\left\{5,9\right\}$, אבל אנו מתבקשים למצוא את התחום שבו מותר להציב. התחום הזה הוא המשלים של התחום בו אסור להציב. כלומר, זה כל המספרים שהם לא המספרים 5 או 9. לפי חוקי דה-מורגן אנו מקבלים שקבוצה זו היא הקבוצה שלא מכילה את 5 וגם לא את 9 (בדוק!).
על מנת למצוא את תחומי ההצבה של משוואה זו או אחרת, עלינו ראשית למצוא את הקבוצה שבה אסור לנו להציב. לקבוצה זו אנו מוצאים את המשלים וזהו כאמור תחום ההצבה.

דוגמה 1

נתונה המשוואה:

${\frac {2}{x^{2}-9}}+{\frac {1}{5-x}}=3$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: נפתור את המשוואה $\;x^{2}-9=0$ על מנת למצוא מתי השבר השמאלי במשוואה אינו מוגדר. הפתרון מתקבל מיידית, וקבוצת הפתרון היא $x_{1,2}=\pm 3$. בשבר השני כמובן אסור להציב 5, מכיוון שגם אז השבר לא מוגדר. מכאן שהקבוצה של המספרים אותם אסור לנו להציב היא הקבוצה $\left\{-3,3,5\right\}$ ומכאן שתחום ההצבה הוא: $\;x\neq -3$ וגם $\;x\neq 3$ וגם $\;x\neq 5$.

דוגמה 2

נושא זה ידון שוב ביתר הרחבה בפרק אי־שוויונות. נניח שנתונה המשוואה:

${\sqrt {x+5}}=3$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: לפי הגדרת השורש הריבועי במספרים הממשיים, אסור להציב בו מספרים שליליים. לכן, קבוצת ההצבה שלנו צריכה להיות כל ה-$;x$ים שמותר להציב, ולכן תחום ההצבה הוא $\;x\geq -5$ כפי שקל לראות (פתרון של אי-שיויונות ידון בהמשך הספר).
תשובה: תחום ההצבה המבוקש הוא $\;x\geq -5$.

דוגמה 3

נתונה המשוואה:

${\sqrt {x+5}}-{\sqrt {x-4}}=3$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: לפי הגדרת השורש הריבועי במספרים הממשיים כאמור, אסור להציב בו מספרים שליליים. לכן, קבוצת ההצבה שלנו צריכה להיות כל ה-$;x$ים שמותר להציב, כלומר תחום ההצבה הוא $\;x\geq -5$ וגם $\;x\geq 4$. שימו לב שמדובר כאן על קשר לוגי וגם בין שני התנאים אז אנו מחפשים את קבוצת החיתוך של שני התנאים. במקרה זה, ברור שאם $\;x\geq 4$ אז הוא גם $\;x\geq -5$ ואז החיתוך הוא בדיוק $\;x\geq 4$. והתשובה הסופית היא: תחום ההצבה הוא: $\;x\geq 4$.

דוגמה 4

נתונה המשוואה:

${\sqrt {x+5}}-{\frac {1}{\sqrt {-x-2}}}=2$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: במקרה זה הפתרון הוא מעט שונה, אם כי השיטה זהה. ראשית, נבדוק מתי מותר להציב, כלומר, כאשר $\;x+5\geq 0$ וגם $\;-x-2\geq 0$ אבל יש גם את השבר, אז צריך לדרוש גם ש-$\;-x-2\neq 0$. זה חיתוך של כל שלושת הקבוצות הללו, כי על $\;x$ לקיים את כל התנאים בו זמנית. התשובה תתקבל מ: $\;x\geq -5$ וגם $\;x\leq -2$ וגם $\;x\neq -2$ ולאחר פישוט מתקבלת התשובה הסופית: $\;x\geq -5$ וגם $\;x<-2$ ואת זה אפשר גם לכתוב כך: $\;-5\leq x<-2$.

הפרק הקודם: קשרים לוגיים

תחומי הצבה והגדרה תרגילים

הפרק הבא: אי־שוויונות