קשרים לוגיים

בתורת הלוגיקה המתמטית, קשר לוגי הוא סימן אשר פועל על פסוקים אשר ניתן להעריך אם הם אמת או שקר. למשל, הפסוק "חמוס הוא יונק" הוא פסוק שניתן להעריך אם הוא אמת או שקר. במקרה זה, אנו מתבססים על עולם הביולוגיה, אשר סיווג את החמוסים וסיווג אותם בקבוצה. בעולם הביולוגי, פסוק זה הוא אמת מכיוון שהחמוס הוא בעל חיים ממשפחת היונקים, כלומר, חמוס מסויים הוא אבר בקבוצת היונקים. ישנם פסוקים שקריים. למשל, הפסוק "ישנו אדם שהוא חמוס" הוא (לפחות בעולם הביולוגיה) שקרי.

הקשר וגם

הבא נתבונן במשפט "ישנו אדם שהוא יונק" ובמשפט "אין אף אדם שהוא חמוס". שני המשפטים הללו הם פסוקי אמת בעולם הביולוגיה. על כן, משפטים אלו ניתן לחבר בעזרת קשר "וגם" ולהשאר עם פסוק אמת. כלומר: "ישנו אדם שהוא יונק וגם אין אף אדם שהוא חמוס". הבא נתבונן במצב באופן קצת יותר כללי. נאמר ישנו פסוק $\;A$ ופסוק $\;B$ . אם $\;A$ הוא אמת, ובו-זמנית גם $\;B$ הוא אמת אז " $\;A$ וגם $\;B$ " הוא גם פסוק אמת. אם $\;A$ או $\;B$ הם שקר, או שניהם, אז " $\;A$ וגם $\;B$ " גם כן שקר. את הקשר וגם מסמנים כך: $A\wedge {B}$ .

הקשר או

נתבונן שוב במשפט "ישנו אדם שהוא יונק" ובמשפט "אין אף אדם שהוא חמוס". שני המשפטים הללו הם פסוקי אמת בעולם הביולוגיה. בניגוד לקשר וגם מספיק שרק אחד המשפטים יהיה אמת, על מנת שחיבור שני המשפטים בעזת קשר או יהיה אמת. נאמר ישנו פסוק $\;A$ ופסוק $\;B$ . אם $\;A$ הוא אמת או $\;B$ הוא אמת, או שניהם אז " $\;A$ או $\;B$ " הוא גם פסוק אמת. אם $\;A$ וגם $\;B$ הם שקר, בו זמנית, אז " $\;A$ או $\;B$ " גם כן שקר. את הקשר או מסמנים כך: $A\vee {B}$ .

כדאי לדעת:

הקשר או שונה מהמילה "או" בשפה העברית. בעברית, רק אחד מהפסוקים הוא אמת. כאשר אומרים למשל "ברד ירד בדרום ספרד או שישנו תרנגול כחול" יכול להיות רק שירד ברד בדרום ספרד או שישנו תרנגול כחול, אבל לא שניהם יחד. במתמטיקה, שניהם יכולים להתקיים ביחד.

הקשר לא

הקשר לא הוא ברור למדי. הוא מופיע לפני הפסיק ואומר שהפסוק הוא שקרי. לדוגמא: "קיים אדם שהוא חמוס" הוא כמובן, פסוק שקר בעולם הביולוגיה. לעומת זאת, "לא קיים אדם שהוא חמוס" הוא פסוק אמת. הקשר לא פשוט הופך את משמעות הפסוק.

הקשר בין קשרים לוגיים לקבוצות

נשים לב שישנו קשר אדוק בין הקשרים הלוגיים לבין הקבוצות שהם מייצגים. הבא נתבונן בקבוצת כל אזרחי המדינה. נבחר שתי תתי קבוצות מאזרחי המדינה. קבוצה אחת היא הקבוצה $\;A$ אשר תכיל רק את כל האנשים שמספרי הזהות שלהם זוגיים, ו- $\;B$ קבוצת כל האנשים שמספרי הזהות שלהם מתחלקים ב-3. איחוד שתי הקבוצות הוא הקבוצה $\;A\cup {B}$ וזה בדיוק כל האנשים שהמספר זהות שלהם הוא זוגי או אי-זוגי. כלומר, הקשר או מקביל לאיחוד קבוצות. מאידך, $\;A\cap {B}$ זה החיתוך וזה בדיוק קבוצת כל האנשים שמספרים הוא זוגי וגם מתחלק ב-3. כלומר, הקשר וגם מקביל לפעולת החיתוך. הקשר לא מתאים לפעולת החיסור.

שימוש בקשרים לוגיים

קשרים לוגיים מופיעים בתרגילים רבים במתמטיקה. מספר דוגמאות:

משוואות ומערכת משוואות

הקורא בשלב זה כבר מכיר משוואות בכמה נעלמים, ועל כן, הבא ונדגים את הקשר. כל מערכת משוואות היא קביעה מתמטית. היא נתון, אבל כפי שכבר ראינו, כל אחת מהמשוואות חייבת להתקיים בו-זמנית עם כל שאר המשוואות. קל להבין שמדובר (אם כי במובלע) בקשר וגם אשר מחבר בין כל המשוואות. המשוואות כולן צריכות להתקיים עבור אותה הצבה של המשתנים. בניגוד למקרה זה, במשוואה ריבועית, יש לעיתים שני פתרונות. אנו אומרים שהפתרון הוא $\;x_{1}$ או $\;x_{2}$ . שני הפתרונות עובדים, אך ברור של- $\;x$ יש רק ערך אחד בכל פעם. למעשה, שני הפתרונות של משוואה ריבועית הם קבוצה שמכילה שני אברים.

אי-שוויונות

נושא האי-שוויונות ידון בהרחבה בפרק אי־שוויונות, אך לפני שנתחיל עלינו ראשית להבין את מושג אי השוויון. באי-שוויון אנו קובעים שמשתנה מסויים, למשל $\;x$ נמצא בתחום מסויים. זוהי קביעה חלשה הרבה יותר מאשר משוואה. למשל, אומרים ש- $\;x>0$ זה אומר שאיננו קובעים מה גודלו של $\;x$ אך למרות זאת, אנו קובעים שהוא גדול מ-0. מי שישים לב, יראה בנקל שכאשר קבענו קביעה כזו, למעשה קבענו קבוצה. זוהי קבוצת כל המספרים הגדולים מ-0 ושמנו את $\;x$ בקבוצה זו. מכאן כבר מתחיל להתבהר השימוש בקשרים לוגיים במקרה של אי-שוויונות והתכונות שלהם. אם נאמר למשל ש- $\;x<0$ וגם $\;x>\left(-1\right)$ אז ביצענו פעולת חיתוך על שתי הקבוצות, כי כפי שציינו, הקשר וגם גורר אחריו פעולת חיתוך של קבוצות. דרך נוספת לכתוב אותו דבר: $\;\left(x<4\right)\wedge \left(x>\left(-1\right)\right)$ או $\;-1<x<4$ . הדרך השניה היא יותר קומפקטית והרבה יותר מקובלת. לחליפין, הקביעה $\;x<4$ או $\;x>9$ יוצרת פעולה של איחוד מכיוון שקשר או גורר אחריו פעולת איחוד. דרך נוספת לכתוב אותו דבר: $\;\left(x<4\right)\vee \left(x>9\right)$ , אם כי כתיבה במילים קבילה באותה מידה בדיוק.