מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קבוצות ותחומים/איחוד וחיתוך

איחוד וחיתוך

בדומה לפעולות על מספרים כגון חיבור וחיסור, ישנן פעולות גם על קבוצות. הפעולות הבסיסיות ביותר הן פעולות החיתוך והאיחוד. כשם שתוצאת החיבור והחיסור של שני מספרים היא מספר, גם תוצאת האיחוד והחיתוך של קבוצות היא קבוצה. נגדיר כעת את פעולות אלו באופן מתמטי.

איחוד

דיאגרמת וֶן לאיחוד

איחוד שתי קבוצות היא קבוצה חדשה המכילה את כל האברים של הקבוצה הראשונה ואת כל האברים של הקבוצה השניה. איחוד מסומן באופן הבא: נתונות שתי קבוצות - $\;A$ ו $\;B$ הקבוצה $\;C$ היא האיחוד שלהן, וזה יסומן כ:

$C=A\cup {B}$

במילים אחרות, האיחוד של $\;A$ ו $\;B$ הוא $\;C$. בקבוצה החדשה שלנו, $\;C$ מופיעים כל האברים של $\;A$ וגם כל האברים של $\;B$. זאת אומרת שלכל $\;x$ שהוא גם אבר ב-$\;A$, כלומר, $\;x\in {A}$ מקיים גם ש-$\;x\in {C}$ וכך גם ל-$\;B$. כלומר כל האברים ב-$\;C$ מופיעים או ב-$\;A$ או ב-$\;B$ או בשתיהן. על כן, אומרים שפעולת האיחוד מקבילה לקשר הלוגי או.
איחוד של קבוצות שמוכלות אחת בשניה הוא תמיד הקבוצה ה"גדולה" יותר. וגם קל לראות שפעולת האיחוד היא סימטרית.
בדיאגרמת ון משמאל מופיע האיחוד בצבע צהוב.

חיתוך

דיאגרמת וֶן לחיתוך

בניגוד לאיחוד, חיתוך שתי קבוצות הוא קבוצה חדשה המכילה את כל האברים של הקבוצה הראשונה שהם גם אברים של הקבוצה השניה. חיתוך מסומן באופן הבא: נתונות שתי קבוצות - $\;A$ ו $\;B$ הקבוצה $\;C$ היא החיתוך שלהן, וזה יסומן כ:

$C=A\cap {B}$

במילים אחרות, החיתוך של $\;A$ ו $\;B$ הוא $\;C$. בקבוצה החדשה, $\;C$ מופיעים כל האברים של $\;A$ שהם גם אברים של $\;B$. זאת אומרת שלכל $\;x$ שמקיים $\;x\in {C}$ מתקיים ש-$x\in {A}$ וגם $x\in {B}$. כלומר כל האברים ב-$\;C$ מופיעים גם ב-$\;A$ וגם ב-$\;B$. על כן, אומרים שפעולת החיתוך מקבילה לקשר הלוגי וגם.
חיתוך של קבוצות שמוכלות אחת בשניה הוא תמיד הקבוצה ה"קטנה" יותר. וגם קל לראות שפעולת החיתוך היא סימטרית. בדיאגרמת ון משמאל, מסומן החיתוך באדום.

כדאי לדעת: כיצד נזכור את הכיוונים של איחוד וחיתוך? הנה עזר זיכרון. סימן החיתוך נראה כמו האות ח', שהרי חיתוך מתחיל בח'. עבור איחוד, הוא נראה כמו האות הלטינית - U, ובאנגלית המילה איחוד היא Union.

חיסור קבוצות

ישנה פעולה נוספת, אשר גם היא יוצרת קבוצה חדשה, זוהי פעולת החיסור. בניגוד לחיתוך ואיחוד, חיסור קבוצות אינו סימטרי ומתקבלות תוצאות שונות אם מחליפים את הכיוונים. מחיסור בין שתי קבוצות מתקבלת קבוצה חדשה אשר מכילה את כל האברים של הקבוצה הראשונה אשר אינם בקבוצה השניה. אם בקבוצה השניה יש אברים שאינם קיימים בקבוצה הראשונה, הם לא משפיעים. פעולה זו תסומן בסימן החיסור הרגיל של המספרים, או על ידי לוכסן:

$C=A-B=A\setminus {B}\;$

הקבוצה המשלימה וחוקי דה-מורגן

הבא נניח שכל הקבוצות שבהן אנו עוסקים מוכלות כולן בקבוצה "כללית" שתסומן באות $\;U$ (לעיתים מסומנת ב-$\;\Omega$). כעת נניח שישנן קבוצות $\;A$ ו $\;B$. הקבוצה השלימה של $\;A$ אשר תקרא המשלים של $\;A$, היא הקבוצה $\;{\overline {A}}$ (מסומן בקו מעל סימון הקבוצה), אשר מקיימת:

${\overline {A}}=\Omega \setminus {A}=U\setminus {A}$

מתוך ההגדרה די ברור שהמשלים של המשלים הוא הקבוצה המקורית. זאת קל לראות בעזרת דיאגרמה מתאימה (בדוק!)

חוקי דה מורגן

חוקי דה-מורגן הינם חוקים אשר מטרתם ל"הפוך" חיתוך באיחוד. זה נעשה על ידי שימוש במשלים. חוקי דה-מורגן קובעים שלכל שתי קבוצות $\;A$ ו-$\;B$ מתקיים:

${\overline {A\cap {B}}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$
${\overline {A\cup {B}}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$

הוכחת חוקי דה-מורגן

כעת נדגים הוכחה בתורת הקבוצות, ובד בבד, גם נוכיח את הכללים החשובים של דה-מורגן.
הוכחה: נתחיל בחוק הראשון. נבחר אבר כלשהו, $x\in {\overline {A\cap {B}}}$ (כלומר איבר במשלים של קבוצת החיתוך). לפי ההגדרה, $\;x$ אינו בד-בבד ב-$\;A$ וב-$\;B$ (כי הוא במשלים) אז יש רק 3 אופציות.

1. יתכן ש-$\;x\in {A}$ וגם $\;x\not \in {B}$.
2. יתכן ש-$\;x\in {B}$ וגם $\;x\not \in {A}$.
3. יתכן ש-$\;x\not \in {A}$ וגם $\;x\not \in {B}$.

מתוך 1 נובע ש-$\;x\in {\overline {B}}$ ולכן בפרט גם באיחוד ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}$.
מתוך 2 נובע ש-$\;x\in {\overline {A}}$ ולכן בפרט גם באיחוד ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}$.
מתוך 3 ברור ש -$x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ ממש מתוך ההגדרה.
מה שקיבלנו זה ש-${\overline {A\cap {B}}}\subseteq {{\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$. לא נותר אלא להראות את ההכלה בכיוון השני.
נבחר אבר כלשהו, $x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$. לפי ההגדרה, $x\in {\overline {A}}$ או $x\in {\overline {B}}$ (או שניהם) ולכן יש 3 אופציות:

1. יתכן ש-$\;x\in {\overline {A}}$.
2. יתכן ש-$\;x\in {\overline {B}}$.
3. יתכן ש-1 וגם 2 מתקיימים בו-זמנית.

אם מתקיים 1, אז בהכרח $\;x\not \in A$ מכאן בפרט, $\;x\not \in A\cap {B}$ מכיוון ש${x}$ לא קיים בקבוצה המשותפת של ${B}$ ו ${A}$. לכן ברור ש-$x\in {\overline {A\cap {B}}}$. באופן סימטרי גם עבור 2 ו-3 $x\in {\overline {A\cap {B}}}$ מאותם שיקולים. הראנו הכלה בכיוון ההפוך כלומר, ${\overline {A\cap {B}}}\supseteq {{\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ ולכן לפי ההגדרה גם ${\overline {A\cap {B}}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ כנדרש.

כתרגיל ניתן לקורא להוכיח את החוק השני.

הערה: שים לב, אין להגדיר קבוצה שמכילה את כל העצמים - כולל קבוצות - ביקום, הסיבה לכך היא פרדוקס ראסל, אשר לא נדון בו במסגרת ספר זה.

הפרק הקודם: הכלה ושוויון

איחוד וחיתוך תרגילים

הפרק הבא: קשרים לוגיים