מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/חליפות/בחירה עם חשיבות לסדר וללא החזרה

בפרק תמורות למדנו למנות את מספר התמורות שניתן לסדר $n$ איברים שונים בשורה. כיצד אנו מוצאים את מספר האפשרויות לבחור $k$ איברים מתוך $n$ שונים כאשר :

1. יש חשיבות לסדר הבחירה - אם הוצאנו בסיבוב הראשון 1,2,3,4 נחשבת אפשרות זו לשונה מ-2,1,3,4
2. אסורה החזרה - אסור להחזיר את האיבר אותו אנו בוחרים חזרה לקבוצה.

טענה 1: מספר האפשרויות לבחור מספר עם חשיבות לסדר בחירת האיברים וללא החזרה של האיבר לקבוצה מספר האפשרויות לבחור $k$ איברים מתוך $n$ איברים שונים כאשר הבחירה היא עם חשיבות לסדר וללא החזרה של איבר מסומן ב-$(n)_{k}$ או ב$A_{n}^{k}$ ושווה $(n)_{k}=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}$

הוכחה: בכמה אפשרויות יש לבחור מתוך כיתה של $n$ תלמידים, יושב ראש, סגן וגזבר. כאשר הבחירה הראשונה תהיה עבור יושב ראש, השניה לסגן והשלישי לגזבר?

יש לנו $n$ תלמידים ואנו רוצים לבחור $k$ מתוכם עם חשיבות לסדר הבחירה.

מספר האפשרויות עבור התפקיד הראשון הוא : $n$ אפשרויות.

מספר האפשרויות עבור התפקיד השני הוא: $n-1$ אפשרויות.

מספר האפשרויות עבור האיבר ה־$k$ הוא $n-(k-1)$.

על פי עקרון הכפל נקבל שמספר האפשרויות הכולל הוא: $n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)$

יש דרך נוחה יותר להציג ביטוי זה: $n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}={\frac {1*2*...*(n-k)(n-k+1)...n}{1*2*...*(n-k)}}$