מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/תמורות/עקרון החיבור

משפט 2: עקרון החיבור אם שלב כלשהו בניסוי מכיל כמה נסיונות שונים שלכל אחד מהם תוצאות שונות, מספר התוצאות האפשריות הכולל בשלב זה הוא סכום של מספר התוצאות האפשריות של כל הניסיונות.

דוגמה 5: כמה אפשרויות יש לבחור ממתק מקופסה של שני מסטיקים ומקופסה של שלושה שוקולדים? ניתן להסתכל על האפשרות לבחור ממתק משני קופסות שונות כשני ניסויים נפרדים. בניסוי אחד בוחרים מסטיק אחד מבין כל המסטיקים, ובניסוי השני בוחרים שוקולד אחד מבין כל השוקולדים. מספר האפשרויות בניסוי הראשון הוא שנים. מספר האפשרויות בניסוי השני הוא שלושה. מאחר שעלינו לבחור ממתק אחד, ואין תוצאה שהיא משותפת לשני הניסויים (כי באחד בוחרים מסטיקים ובשני שוקולדים), סה"כ האפשרויות מכל ניסוי שווה לסכום התוצאות של כל ניסוי, דהינו $5+8=13$ אפשרויות.

דוגמה 6: כמה אפשרויות יש לבחור מתוך 3 זוגות מכנסים שחורים, 2 זוגות מכנסים לבנים, 3 חולצות שחורות ו-5 לבנות, זוג של מכנס וחולצה בעלי אותו צבע? נסתכל על בחירת הבגדים כשני ניסויים שונים: באחד בוחנים כמה אפשרויות קיימות לבחור חולצה ומכנס לבנים, ובשני שחורים. כל אחד מהניסויים הללו הוא נפרד מהשני. שניהם ניסויים דו־שלבי – קודם בוחרים מכנסיים ואז בוחרים חולצה. בניסוי הראשון - בחירת מכנסים שחורים קיימים 9 אפשרויות לקבל מכנסים שחורים וחולצה שחורה: $3*3=9$ אפשרויות. בניסוי השני - בחירת מכנס לבן וחולצה נקבל תוצאה של 10 אפשרויות ($5*2=10$). נחבר את האפשרויות, על־פי עקרון החיבור, ונקבל שסך כל האפשרויות שלנו הוא $9+10=19$ אפשרויות לקבל זוג מכנסים וחולצה בעלי אותו צבע.

דוגמה 7: יעל ודני רוצים לראות טלוויזיה. יעל רוצה לראות את ערוץ הספורט, ערוץ הסרטים וערוץ החדשות. דני רוצה לראות את ערוץ הסרטים, ערוץ הילדים וערוץ מזג האוויר. כמה אפשרויות יש לבחור ערוץ שלפחות אחד משניהם רוצה לראות? אפשר לחלק את הניסוי לשני ניסויים: מספר האפשרויות שיעל תראה ערוץ. מספר האפשרויות שדני יראה ערוץ. מספר התוצאות האפשריות בכל ניסוי הוא 3. לכאורה על־פי עקרון החיבור יש 6 תוצאות אפשריות. הנחה זו שגויה מפני שבסך הכל יש 5 ערוצים שדני או יעל רוצים לראות: ספורט, סרטים, חדשות, ילדים ומזג אוויר, ולפיכך לא הגיוני שמספר האפשרויות לראות ערוצים יהיה גבוה מכמות הערוצים האפשרים. הסיבה שעקרון החיבור נכשל היא שתוצאות שני הניסויים, זה של יעל וזה של דני, אינן בהכרח שונות: בשני הניסויים תוצאה אפשרית משותפת היא "ערוץ הסרטים".