מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/חפיפת משולשים

הגדרת החפיפה (שיוון)

כאשר, שני משולשים, בעלי צלעות וזוויות שוות, הם נקראים משולשים חופפים. למשל, נתון שני משולשים $\triangle ABC$ ו-$\triangle DEF$ אשר אורך צלעותיהם שוות בהתאם : ${\begin{aligned}&AB=DE\\&BC=DF\\&CA=FE\\&\Downarrow \\&\triangle ABC\cong \triangle DEF\\\end{aligned}}$

רשימת החפיפה הסופית תתבצע בהתאמה, כלומר, $\angle A$ השווה ל-$\angle D$, ירשמו, זה מול זה, כפי שמתואר בדוגמא.

משפטי חפיפה

• 
  משפט חפיפה ראשון : צ.ז.צ - שני משולשים השווים זה לזה בארכי שתי צלעות ובזווית שביניהן.
• 
  משפט חפיפה שני :ז.צ.ז - שני משולשים השווים זה לזה בשתי זוויות, ובאורך הצלע שביניהן, הם חופפים
• 
  משפט חפיפה שלישי : צ.צ.צ - שני משולשים השווים זה לזה בארכי צלעותיהם, הם חופפים
• 
  משפט חפיפה רביעי :צ.צ.ז - שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה
• 
  משפט חפיפה חמישי :ז.ז.צ - שתי זוויות ובצלע שמול אחת מהן

זוויות או צלעות מתאימות, במשולשים חופפים

כאשר יש לנו משפט חפיפה, נוכל להוציא ממנו בקלות את הנתונים כיוון שהם רשומים בהתאמה.כלומר, אם נתון :

${\begin{aligned}&\triangle ABC\cong \triangle DEF\\&\Downarrow \\&AB=DE\\&BC=DF\\&CA=FE\\&\angle A=\angle D\\&\angle B=\angle E\\&\angle C=\angle F\\\end{aligned}}$

בתום הפעולה עלינו לרשום : צ.מ.ב.ח (צלעות מתאימות במשולשים חופפים) או ז.מ.ב.ח (זוויות מתאימות במשולשים חופפים).

תרגול

צ.ז.צ

כיתוב תמונה

נתון שני משולשים (ABC ו-DAF) בעלי זווית משותפת A. ידוע כי AB=DA וכן גם, FA=CA. הוכח כי המשולשים חופפים.

ז.צ.ז

נתון :

1. משולש ABC
2. AD הוא קטע אמצעי וחוצה זווית.

הוכח : כי המשולש $\ ABF$ חופף למשולש $\ AFC$

צ.צ.צ

נתון מרובע אשר AB=DC , AD=BC . הוכח : כי המשולש $\ ACD$ חופף למשולש $\ ABD$.