בכדי למצוא את המצב ההדדי בין הישר למעגל, יש לפתור את שתי מערכות המשוואות: הישר והמעגל. על פי הפתרון של המשוואה הריבועית ניתן לקבוע את מערכת היחסים בין המעגל לישר.
המצב
תיאור
פתרון המשוואה
דוגמה
נחתכים
הישר חותך את המעגל בשתי נקודות
Δ = b 2 − 4 a c > 0 {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac>0}
{ ( x + 9 ) 2 + ( y + 10 ) 2 = 100 x + 1 − y = 0 {\displaystyle {\begin{cases}(x+9)^{2}+(y+10)^{2}=100\\x+1-y=0\\\end{cases}}}
{ ( x + 9 ) 2 + ( y + 10 ) 2 = 100 x + 1 = y {\displaystyle {\begin{cases}(x+9)^{2}+(y+10)^{2}=100\\x+1=y\\\end{cases}}}
( x + 9 ) 2 + ( x + 11 ) 2 = 100 x 2 + 18 x + 81 + x 2 + 22 x + 121 = 100 2 x 2 + 40 x + 102 = 0 x 2 + 20 x + 51 = 0 − 20 ± 20 2 − 4 ∗ 51 2 x 1 = − 3 , x 2 = − 17 y 1 = − 2 , y 2 = − 16 {\displaystyle {\begin{aligned}(x+9)^{2}+(x+11)^{2}=100\\x^{2}+18x+81+x^{2}+22x+121=100\\2x^{2}+40x+102=0\\x^{2}+20x+51=0\\{\frac {-20\pm {\sqrt {20^{2}-4*51}}}{2}}\\x_{1}=-3,x_{2}=-17\\y_{1}=-2,y_{2}=-16\end{aligned}}}
נקודות החיתוך הם A ( − 3 , − 17 ) {\displaystyle A(-3,-17)} וגם B ( − 2 , − 16 ) {\displaystyle B(-2,-16)}
משיקים
לישר יש נקודה אחת משותפת
Δ = b 2 − 4 a c = 0 {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=0}
{ x = − 2 y + 7 ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 20 {\displaystyle {\begin{cases}x=-2y+7\\(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=20\\\end{cases}}}
( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 20 ( − 2 y + 6 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 20 4 y 2 − 24 y + 36 + y 2 + 4 y + 4 = 20 5 y 2 − 20 y + 20 = 0 y 2 − 4 y + 4 = 0 4 ± 16 − 4 ∗ 4 2 y = 2 x = − 2 ∗ 2 + 7 = 3 ( 3 , 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=20\\(-2y+6)^{2}+(y+2)^{2}=20\\4y^{2}-24y+36+y^{2}+4y+4=20\\5y^{2}-20y+20=0\\y^{2}-4y+4=0\\{\frac {4\pm {\sqrt {16-4*4}}}{2}}\\y=2\\x=-2*2+7=3(3,2)\end{aligned}}}
זרים
הישר לא חותך את נקודות החיתוך
Δ = b 2 − 4 a c < 0 {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac<0}
{ x + y = 5 ( x + 3 ) 2 + y 2 = 30 {\displaystyle {\begin{cases}x+y=5\\(x+3)^{2}+y^{2}=30\end{cases}}}
{ y = 5 − x ( x + 3 ) 2 + y 2 = 30 {\displaystyle {\begin{cases}y=5-x\\(x+3)^{2}+y^{2}=30\end{cases}}}
( x + 3 ) 2 + ( 5 − x ) 2 = 30 x 2 + 6 x + 9 + 25 − 10 x + x 2 = 30 2 x 2 − 4 x + 4 = 0 x 2 − 2 x + 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x+3)^{2}+(5-x)^{2}=30\\x^{2}+6x+9+25-10x+x^{2}=30\\2x^{2}-4x+4=0\\x^{2}-2x+2=0\\\end{aligned}}}
דלתא של המשוואה היא שלילית Δ = 4 − 4 ∗ 2 = − 4 {\displaystyle \Delta =4-4*2=-4} ולכן לא ניתן להוציא שורש. במילים אחרות המשוואות זרות.