בכדי למצוא את המצב ההדדי בין הישר למעגל, יש לפתור את שתי מערכות המשוואות: הישר והמעגל. על פי הפתרון של המשוואה הריבועית ניתן לקבוע את מערכת היחסים בין המעגל לישר.
המצב
תיאור
פתרון המשוואה
דוגמה
נחתכים
הישר חותך את המעגל בשתי נקודות
Δ
=
b
2
−
4
a
c
>
0
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac>0}
{
(
x
+
9
)
2
+
(
y
+
10
)
2
=
100
x
+
1
−
y
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}(x+9)^{2}+(y+10)^{2}=100\\x+1-y=0\\\end{cases}}}
{
(
x
+
9
)
2
+
(
y
+
10
)
2
=
100
x
+
1
=
y
{\displaystyle {\begin{cases}(x+9)^{2}+(y+10)^{2}=100\\x+1=y\\\end{cases}}}
(
x
+
9
)
2
+
(
x
+
11
)
2
=
100
x
2
+
18
x
+
81
+
x
2
+
22
x
+
121
=
100
2
x
2
+
40
x
+
102
=
0
x
2
+
20
x
+
51
=
0
−
20
±
20
2
−
4
∗
51
2
x
1
=
−
3
,
x
2
=
−
17
y
1
=
−
2
,
y
2
=
−
16
{\displaystyle {\begin{aligned}(x+9)^{2}+(x+11)^{2}=100\\x^{2}+18x+81+x^{2}+22x+121=100\\2x^{2}+40x+102=0\\x^{2}+20x+51=0\\{\frac {-20\pm {\sqrt {20^{2}-4*51}}}{2}}\\x_{1}=-3,x_{2}=-17\\y_{1}=-2,y_{2}=-16\end{aligned}}}
נקודות החיתוך הם
A
(
−
3
,
−
17
)
{\displaystyle A(-3,-17)}
B
(
−
2
,
−
16
)
{\displaystyle B(-2,-16)}
משיקים
לישר יש נקודה אחת משותפת
Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
0
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=0}
{
x
=
−
2
y
+
7
(
x
−
1
)
2
+
(
y
+
2
)
2
=
20
{\displaystyle {\begin{cases}x=-2y+7\\(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=20\\\end{cases}}}
(
x
−
1
)
2
+
(
y
+
2
)
2
=
20
(
−
2
y
+
6
)
2
+
(
y
+
2
)
2
=
20
4
y
2
−
24
y
+
36
+
y
2
+
4
y
+
4
=
20
5
y
2
−
20
y
+
20
=
0
y
2
−
4
y
+
4
=
0
4
±
16
−
4
∗
4
2
y
=
2
x
=
−
2
∗
2
+
7
=
3
(
3
,
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=20\\(-2y+6)^{2}+(y+2)^{2}=20\\4y^{2}-24y+36+y^{2}+4y+4=20\\5y^{2}-20y+20=0\\y^{2}-4y+4=0\\{\frac {4\pm {\sqrt {16-4*4}}}{2}}\\y=2\\x=-2*2+7=3(3,2)\end{aligned}}}
זרים
הישר לא חותך את נקודות החיתוך
Δ
=
b
2
−
4
a
c
<
0
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac<0}
{
x
+
y
=
5
(
x
+
3
)
2
+
y
2
=
30
{\displaystyle {\begin{cases}x+y=5\\(x+3)^{2}+y^{2}=30\end{cases}}}
{
y
=
5
−
x
(
x
+
3
)
2
+
y
2
=
30
{\displaystyle {\begin{cases}y=5-x\\(x+3)^{2}+y^{2}=30\end{cases}}}
(
x
+
3
)
2
+
(
5
−
x
)
2
=
30
x
2
+
6
x
+
9
+
25
−
10
x
+
x
2
=
30
2
x
2
−
4
x
+
4
=
0
x
2
−
2
x
+
2
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}(x+3)^{2}+(5-x)^{2}=30\\x^{2}+6x+9+25-10x+x^{2}=30\\2x^{2}-4x+4=0\\x^{2}-2x+2=0\\\end{aligned}}}
דלתא של המשוואה היא שלילית
Δ
=
4
−
4
∗
2
=
−
4
{\displaystyle \Delta =4-4*2=-4}
