מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/המעגל/מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעות

שלבי הפתרון

1. נמצא את נקודת אמצע קטע של אחד האנכים, למשל של $AB$ (נניח $P$) באמצעות שיעורי אמצע של קטע.
2. נמצא את השיפוע של הקטע $AB$ באמצעות נוסחת השיפוע.
3. נמצא את שיפוע האנך האמצעי $MP$ באמצעות שיפוע של שני אנכים ($m_{1}*m_{2}=-1$).
4. נמצא את משוואת האנך PM באמצעות שיפועו והנקודה $P$ הנמצאת עליו.
5. נמצא את נקודת אמצע קטע $AC$ (נניח $Z$) באמצעות שיעורי אמצע של קטע.
6. נמצא את השיפוע של הקטע $AC$ באמצעות נוסחת השיפוע.
7. נמצא את שיפוע האנך האמצעי $Mz$ באמצעות שיפוע של שני אנכים($m_{1}*m_{2}=-1$).
8. נמצא את משוואת האנך $MZ$ באמצעות שיפועו והנקודה $z$ הנמצאת עליו.
9. מאחר ששני האנכים נחתכים בנקודה $M$ על סמך המשפט מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעות נשווה בין הישירים ונמצא את ערך ה-$x$ של נקודת החיתוך.
10. נמצא את ערך ה-$y$ של $M$ באמצעות הצבה באחת ממשוואות האנכים.
11. נמצא את גודל רדיוס המעגל באמצעות נוסחת מרחק בין שתי נקודות $P$ (ניתן גם $Z$) ו-$M$.
12. נציב את הנתונים במשוואה הכללית של המעגל ( $\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$).

דוגמה

קדקודי משולש ABC הם: $A(8,5)$, $B(7,-2)$ ו-$C(-1,2)$ מצא את משוואת המעגל.

פתרון

נמצא את נקודת אמצע קטע $BC$(נניח P) באמצעות שיעורי אמצע של קטע.

${\begin{aligned}P({\frac {7-1}{2}};{\frac {-2+2}{2}})\\P(3,0)\\\end{aligned}}$

נמצא את השיפוע של הקטע AB באמצעות נוסחת השיפוע.

$m={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}={\frac {2+2}{-1-7}}={\frac {4}{-8}}={\frac {1}{-2}}$

נמצא את שיפוע האנך האמצעי $MP$ באמצעות המשפט של שיפוע של שני אנכים. נציב בנוסחה $m_{1}*m_{2}=-1$ את שיפוע המיתר $BC$ ונגלה כי $m_{1}=2$

נמצא את משוואת האנך $PM$ באמצעות שיפועו והנקודה $P$ הנמצאת עליו ועל ידי הצבה במשוואת הישר. נקבל $y=2x+6$

נמצא את נקודת אמצע קטע $AC$ (נניח $Z$) באמצעות שיעורי אמצע של קטע.

${\begin{aligned}Z({\frac {8-1}{2}};{\frac {5+2}{2}})\\Z({\frac {7}{2}},{\frac {7}{2}})\\\end{aligned}}$

נמצא את השיפוע של הקטע $AC$ באמצעות נוסחת השיפוע. $m={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}={\frac {2-5}{-1-8}}={\frac {-3}{-9}}={\frac {1}{3}}$

נמצא את שיפוע האנך האמצעי $MZ$ באמצעות שיפוע של שני אנכיםנציב בנוסחה $m_{1}*m_{2}=-1$ את שיפוע המיתר $AC$ ונגלה כי $m=-3$

נמצא את משוואת האנך $MZ$ באמצעות שיפועו והנקודה $z$ הנמצאת עליו. נקבל $y=-3x+14$

מאחר ששני האנכים נחתכים בנקודה $M$ ועל סמך המשפטים מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעות, נשווה בין הישירים ונמצא את ערך ה-$x$ של נקודת החיתוך.

${\begin{aligned}2x-6=-3x+14\\5x=20\\x=4\\\end{aligned}}$

נמצא את ערך ה-$y$ של $M$ באמצעות הצבה באחת ממשוואות האנכים.

${\begin{aligned}y=2*4-6\\y=2\\M(4,2)\\\end{aligned}}$

נמצא את גודל רדיוס המעגל באמצעות נוסחת מרחק בין שתי נקודות $P$ (ניתן גם $Z$) ו-$M$. נמצא כי $R_{MA}={\sqrt {(8-4)^{2}+(5-2)^{2}}}={\sqrt {25}}=5$

נציב את הנתונים במשוואה הכללית של המעגל ( $\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$) $(x-4)^{2}+(y-2)^{2}=25$