מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/המעגל/מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעות

שלבי הפתרון

עריכה
  1. נמצא את נקודת אמצע קטע של אחד האנכים, למשל של   (נניח  ) באמצעות שיעורי אמצע של קטע.
  2. נמצא את השיפוע של הקטע   באמצעות נוסחת השיפוע.
  3. נמצא את שיפוע האנך האמצעי   באמצעות שיפוע של שני אנכים ( ).
  4. נמצא את משוואת האנך PM באמצעות שיפועו והנקודה   הנמצאת עליו.
  5. נמצא את נקודת אמצע קטע   (נניח  ) באמצעות שיעורי אמצע של קטע.
  6. נמצא את השיפוע של הקטע   באמצעות נוסחת השיפוע.
  7. נמצא את שיפוע האנך האמצעי   באמצעות שיפוע של שני אנכים( ).
  8. נמצא את משוואת האנך   באמצעות שיפועו והנקודה   הנמצאת עליו.
  9. מאחר ששני האנכים נחתכים בנקודה   על סמך המשפט מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעות נשווה בין הישירים ונמצא את ערך ה-  של נקודת החיתוך.
  10. נמצא את ערך ה-  של   באמצעות הצבה באחת ממשוואות האנכים.
  11. נמצא את גודל רדיוס המעגל באמצעות נוסחת מרחק בין שתי נקודות   (ניתן גם  ) ו- .
  12. נציב את הנתונים במשוואה הכללית של המעגל (  ).

דוגמה

עריכה

קדקודי משולש ABC הם:  ,   ו-  מצא את משוואת המעגל.

פתרון

עריכה

נמצא את נקודת אמצע קטע  (נניח P) באמצעות שיעורי אמצע של קטע.

 

נמצא את השיפוע של הקטע AB באמצעות נוסחת השיפוע.

 

נמצא את שיפוע האנך האמצעי   באמצעות המשפט של שיפוע של שני אנכים. נציב בנוסחה   את שיפוע המיתר   ונגלה כי  

נמצא את משוואת האנך   באמצעות שיפועו והנקודה   הנמצאת עליו ועל ידי הצבה במשוואת הישר. נקבל  

נמצא את נקודת אמצע קטע   (נניח  ) באמצעות שיעורי אמצע של קטע.

 

נמצא את השיפוע של הקטע   באמצעות נוסחת השיפוע.  

נמצא את שיפוע האנך האמצעי   באמצעות שיפוע של שני אנכיםנציב בנוסחה   את שיפוע המיתר   ונגלה כי  

נמצא את משוואת האנך   באמצעות שיפועו והנקודה   הנמצאת עליו. נקבל  

מאחר ששני האנכים נחתכים בנקודה   ועל סמך המשפטים מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעות, נשווה בין הישירים ונמצא את ערך ה-  של נקודת החיתוך.

 

נמצא את ערך ה-  של   באמצעות הצבה באחת ממשוואות האנכים.

 


נמצא את גודל רדיוס המעגל באמצעות נוסחת מרחק בין שתי נקודות   (ניתן גם  ) ו- . נמצא כי  

נציב את הנתונים במשוואה הכללית של המעגל (  )