מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/המעגל/תנאי ההשקה של ישר למעגל

משוואה כללית

היחס בין מעגל ($(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$) ולישר ($Ax+By+C=0$) תלוי במרחק של הישר ממרכז המעגל כלומר מגודלו הרדיוס.

אנו מתעניינים בתנאי ההשקה בלבד ולכן נוכל לטעון כי הישר $Ax+By+C=0$ משיק למעגל $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ כאשר $\Delta _{\text{circle from line}}={\frac {|Aa+Bb+c|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}=R$.

המצב	תיאור	פתרון המשוואה
נחתכים	מרחק הישר ממרכז המעגל קטן מהרדיוס	$\Delta _{\text{circle from line}}={\frac {|Aa+Bb+c|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}<R$
משיקים	מרחק הישר ממרכז המעגל שווה לרדיוס המעגל	$\Delta _{\text{circle from line}}={\frac {|Aa+Bb+c|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}=R$
זרים	מרחק הישר ממרכז המעגל גדול מרדיוס המעגל	$\Delta _{\text{circle from line}}={\frac {|Aa+Bb+c|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}>R$

משוואה מפורשת

נציב במנוסחה שקבלנו את המשוואה המפורשת של הישר $y=mx+n$ על ידי הפיכתה למשוואה כללית $y-mx-n=0$

נקבל כי הישר $y=mx+n$ משיק למעגל כאשר ${\frac {|-ma+b-n|}{\sqrt {m^{2}+1}}}=R$

נפטר מהמכנה $|-ma+b-n|=R*{\sqrt {m^{2}+1}}$ נעלה בשנייה ונקבל את תנאי ההשקה של הישר למעגל: $(-ma+b-n)^{2}=R^{2}(m^{2}+1)$

במקרה של מעגל קנוני, כלומר נציב את הערכים $(0,0)$ במשוואה $(-m*0+0-n)^{2}=R^{2}(m^{2}+1)$ ונקבל $n^{2}=R^{2}(m^{2}+1)$