מתמטיקה תיכונית/וקטורים/ישרים ומישורים במישור ובמרחב/הצגה פרמטרית של ישר

בפרק המבוא ראינו שניתן להביע ישר במישור בעזרת משוואה מהצורה $Ax+By+C=0$ או לאחר צמצום מהצורה $y=mx+n$. אך אם היינו רוצים להביע ישר במרחב באמצעות משוואה אלגברית? מסתבר, שדבר כזה הוא אינו אפשרי, אבל ניתן לעשות את זה בדרך אחרת.

בפרק זה נדון במשוואות ישר פרמטריות במישור ובמרחב וכיצד ניתן לבנות אותן לישר מסויים.

מציאת נקודה על ישר באמצעות וקטור שעליו

נתון לנו וקטור כלשהו ${\overrightarrow {OA}}$ (הנקודה $O$ היא לא בהכרח ראשית הצירים). אנחנו רוצים למצוא נקודות נוספות שנמצאות על ישר כלשהו בכיוון הוקטור ${\overrightarrow {OA}}$. נשתמש בטענה:

טענה 1: נקודה על ישר הנקודה $B$ תהיה על ישר כלשהו בכיוון הוקטור ${\overrightarrow {OA}}$, אם ורק אם קיים מספר ממשי כלשהו $t$ כך שמתקיים ${\overrightarrow {OB}}=t\cdot {\overrightarrow {OA}}$.

כלומר, כל הנקודות על ישר כלשהו בכיוון ${\overrightarrow {OA}}$ (אפשר גם על הישר $OA$ בעצמו והמשכו) הן מהצורה $t\cdot {\overrightarrow {OA}}$, עבור מספר ממשי $t$ כלשהו. בעצם, כל $t$ נותן לנו וקטור אחר שמונח על הישר $OA$ והמשכו.

המשוואה הפרמטרית של הישר

נציב במשוואה הנקראת ההצגה הפרמטרית, מספר ממשי כלשהו, הוא הפרמטר שלנו ונקבל וקטור, הוקטור הזה ייצג נקודה על הישר שלנו. אם זה נשמע מבלבל, אל דאגה, הדברים יתבהרו בהמשך.

הסימון של משוואה פרמטרית

משוואה פרמטרית של ישר: $l:{\vec {x}}={\vec {a}}+t\cdot {\vec {v}}$

$l$

קיצור של שם הישר (line). ניתן לכנותו באותיות כמגון $f,g$ המשמשות בפונקציות לפעמים.

$x$

חלק טכני וחשוב מהסימון של הישר, לעולם לא מורידים אותו ולא משנים אותו, בכל הצגה פרמטרית הוא מופיע עם קו מתחת.

$a$

הוקטור שמוצאו בראשית הצירים וסופו בנקודה כלשהי על הישר.

$t$

הפרמטר. אפשר לרשום במקומו כל משתנה אחר והוא מזכיר במידה רבה את ה- $x$ בסימון של פונקציות.

$v$

וקטור שמונח כולו על הישר, לא כמו $a$ שרק נוגע בישר בסופו. נקרא גם וקטור הכיוון של הישר.

דוגמאות

נראה שימוש בסימון ונרשום מספר הצגות פרמטריות של ישרים:

• $l_{1}:{\vec {x}}=(0,1,3)+t_{1}(1,-1,2)$
• $l_{2}:{\vec {x}}=(2,1)+t_{2}(1,-1)$
• $l_{3}:{\vec {x}}=(1,0,0)+t_{3}(1,-3,4)$

שימו לב: הישרים הראשון והשלישי הם ישרים במרחב ואילו הישר השני הוא ישר במישור. גם ישרים במישור יכולים להופיע בהצגות פרמטריות אפילו שניתן להציג אותם גם כמשוואות האלגבריות המוכרות לנו.

הצגות שקולות

הצגות פרמטריות לעתים יוצרות בעיה, שכן, ניתן להציג את אותו הישר באמצעות שתי הצגות פרמטריות שונות! אנחנו צריכים שיטה כדי לקבוע מתי שתי הצגות פרמטריות הן זהות זו לזו, או במילים אחרות, מתי הן מתלכדות.

הדרך לפתור את הבעיה היא דבר ראשון למצוא נקודה כללית על הישר, כך לדוגמא, בהינתן ההצגה הפרמטרית:

$l_{1}:{\vec {x}}=(1,0,0)+t(1,0,-1)$

אנחנו יכולים לרשום נקודה כללית על הישר כ- (t+1,0,-t).

דוגמה נוספת, בהינתן ההצגה הפרמטרית:

$l_{2}:{\vec {x}}=(2,-1,7)+t_{2}(6,-2,1)$

נוכל לרשום נקודה כללית על הישר כ- (2+6t_2,-1-2t_2,7+t_2). (שימו לב שפשוט ביצענו חיבור של כל הוקטורים בהצגה הפרמטרית אל תוך וקטור אחד, שבעצם מייצג נקודה על הישר).

כעת מה שנשאר לעשות הוא להשוות בין הנקודות, כלומר, להשוות בין כל הקואורדינטות המתאימות, ונקבל שתיים או שלוש משוואות (אם אנחנו במישור או במרחב, בהתאמה).

להלן המקרים:

אם אין פתרון

ההצגות הן בטוח לא של אותו הישר, נדון במשמעות של חוסר פתרון בהמשך.

אם יש פתרון אחד

ההצגות הן לא של אותו הישר, נדון במשמעות של פתרון יחיד בהמשך.

אם יש אינסוף פתרונות

ההצגות הן של אותו הישר, או הישרים מתלכדים.

שימו לב: אנחנו אמנם נזכיר זאת גם בהמשך, אך ראוי לציין שכאשר "משווים" כך בין שתי הצגות פרמטריות הפרמטר שלהן צריך להיות שונה. בכך בעצם שונות הצגות פרמטריות מהשוואה בין פונקציות כפי שהיה מוכר לנו בעבר.

מעבר ממשוואה של ישר להצגה פרמטרית שלו

בסעיף זה נדבר על המישור בלבד, שכן, אין לנו משוואות אלגבריות לישרים במרחב.

נסתכל על ישר כלשהו במישור מהצורה $y=mx+n$ (אם הוא לא מהצורה הזו תמיד נוכל להביא אותו אליה באמצעות העברת אגפים וצמצום), אנחנו מעונינים למצוא הצגה פרמטרית שלו.

דרך א'

נסתכל על המרכיבים של הצגה פרמטרית של ישר. אנחנו בעצם זקוקים לנקודה על הישר שתשמש כ- $a$. ווקטור שמוכל כולו על הישר שיהיה וקטור כיוון עבורנו.

כדי למצוא נקודה, נבחר $x$ כלשהו כרצוננו (אפשר אפילו $0$) ונציב במשוואה כדי למצוא את שיעור ה- $y$ של הנקודה. אחרי שקיבלנו את שני השיעורים, יש לנו נקודה על הישר.

בשביל וקטור כיוון אנחנו נזדקק לוקטור שנמצא כולו על הישר. גם לא בעיה, ניקח שתי נקודות כלשהן על הישר (שוב, נבחר $x$ ונקבל $y$), נקרא להן $A$ ו- $B$ ונמצא את הוקטור ${\overrightarrow {AB}}$ והוא ישמש לנו כv להצגה הפרמטרית.

דוגמאות

• נתון הישר $y=5x-3$. מצא את ההצגה הפרמטרית של ישר זה.

נבחר נקודה על הישר בשביל $a$. נבחר $x=0$. אנחנו נקבל את הנקודה: $(0,-3)$.

כעת אנחנו מעונינים בוקטור כיוון. נבחר $x=1$ כדי לקבל נקודה $A$ על הישר. לכן $A(1,2)$. ונבחר $x=2$ כדי לקבל נקודה נוספת $B$, שנמצאת על הישר. לכן, $B(2,7)$.

ונחשב:

${\vec {v}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}=(2-1,7-2)=(1,5)$

כעת אנחנו יכולים לרשום את ההצגה הפרמטרית הסופית:

$l:{\vec {x}}=(0,-3)+t(1,5)$

דרך ב'

כל וקטור על הישר ניתן לרישום כ- $(x,y)$ עבור $x$ ו- $y$ שמקיימים את המשוואה. נציב במקום $y$ את מה שהיא שווה לו, כלומר, נרשום $(x,mx+n)$. נשתמש במה שידוע לנו מחיבור של וקטורים אלגבריים ונראה שבעצם ניתן לרשום את הביטוי האחרון כ:

$(x,mx+n)=(0,n)+x(1,m)$

נציב במקום $x$ את הפרמטר $t$, ונראה שאנחנו בקלות יכולים לרשום:

$l:{\vec {x}}=(0,n)+t(1,m)$

וזו ההצגה הפרמטרית המבוקשת.

שימו לב: הדרך שהצגנו היא לא נוסחה שניתן להשתמש בה בחופשיות בבחינת הבגרות! אם אתם מעוניינים להשתמש בדרך ב' אתם חייבים לפתח כל מקרה לגופו בדרך שאותה הראנו כאן.במילים אחרות, אין קיצורי דרך.

דוגמאות

• ניקח את הישר $y=7x-2$. כעת נרשום נקודה כללית על הישר, כך: $(x,7x-2)$. ונפרק לפי סכום של וקטורים, ונקבל:

$(x,7x-2)=(0,-2)+x(1,7)$

שוב, נחליף את $x$ בפרמטר אחר כלשהו ונוכל לרשום:

$l:{\vec {x}}=(0,-2)+t(1,7)$

וזו ההצגה הפרמטרית של הישר.

מעבר מהצגה פרמטרית למשוואת ישר

כידוע מלימודי ההנדסה האנליטית, ניתן למצוא משוואת ישר באמצעות שתי נקודות שעליו. כדי לעבור מהצגה פרמטרית למשוואה פשוט נבחר שני $t$ שונים, נציב בהצגה הפרמטרית כדי לקבל שתי נקודות, דרכן נמצא שיפוע ונקודת חיתוך עם ציר ה- $y$.