מתמטיקה תיכונית/חשבון אינטגרלי/נפחים

חישובי נפחים באמצעות אינטגרל הם דרך לחשב נפח של גוף סיבוב (צורה המסתובבת סביב אחת מצלעותיה).

Volumes using an integral.jpg

החישוב נעשה באמצעות אינטגרל מסוים (הפרש בין אינטגרלים, מה שמוחק את c כי וכך מחסרים את c מc והוא נמחק).

חישובעריכה

נסמן נקודה   שתשמש כנקודת מוצא. הפונקציה   היא הפונקציה שמתאימה לכל ערך   את נפח גוף הסיבוב המתקבל מסיבוב של השטח בין הפונקציה  , הישרים  , ו-  , וציר הx, סביב ציר הx.

נחשב את הנגזרת של הפונקציה  :

 

ברור שההפרש   קטן מהגליל שנוצר מסיבוב מלבן   סביב  , וגדול מהגליל שנוצר מסיבוב מלבן   סביב  . נקבל:

  (הקטע   שווה ל  והקטע  )

נחלק ב  ונקבל:

 

נפעיל גבול:

 

הגבול   שווה ל  ולכן:

 

כלומר הפונקציה   היא פונקציה קדומה של  . כעת נראה כי שימוש באינטגרל מסוים נותן ערך מדויק של הנפח:

נבחר פונקציה   שגם היא פונקציה קדומה של  . קיבלנו  . כאשר   נקבל שהנפח שווה ל0 ולכן:

 

כלומר הנפח בין הישרים   ו  לכל a וb שעבורם הפונקציה מוגדרת וגם האינטגרל מוגדר  , הוא:  .