מתמטיקה תיכונית/חשבון אינטגרלי/נפחים

חישובי נפחים באמצעות אינטגרל הם דרך לחשב נפח של גוף סיבוב (צורה המסתובבת סביב אחת מצלעותיה).

החישוב נעשה באמצעות אינטגרל מסוים (הפרש בין אינטגרלים, מה שמוחק את c כי וכך מחסרים את c מc והוא נמחק).

חישוב

עריכה

נסמן נקודה   שתשמש כנקודת מוצא. הפונקציה   היא הפונקציה שמתאימה לכל ערך   את נפח גוף הסיבוב המתקבל מסיבוב של השטח בין הפונקציה  , הישרים  , ו-  , וציר הx, סביב ציר הx.

נחשב את הנגזרת של הפונקציה  :

 

ברור שההפרש   קטן מהגליל שנוצר מסיבוב מלבן   סביב  , וגדול מהגליל שנוצר מסיבוב מלבן   סביב  . נקבל:

  (הקטע   שווה ל  והקטע  )

נחלק ב  ונקבל:

 

נפעיל גבול:

 

הגבול   שווה ל  ולכן:

 

כלומר הפונקציה   היא פונקציה קדומה של  . כעת נראה כי שימוש באינטגרל מסוים נותן ערך מדויק של הנפח:

נבחר פונקציה   שגם היא פונקציה קדומה של  . קיבלנו  . כאשר   נקבל שהנפח שווה ל0 ולכן:

 

כלומר הנפח בין הישרים   ו  לכל a וb שעבורם הפונקציה מוגדרת וגם האינטגרל מוגדר  , הוא:  .