מתמטיקה תיכונית/חשבון אינטגרלי/נפחים
חישובי נפחים באמצעות אינטגרל הם דרך לחשב נפח של גוף סיבוב (צורה המסתובבת סביב אחת מצלעותיה).
החישוב נעשה באמצעות אינטגרל מסוים (הפרש בין אינטגרלים, מה שמוחק את c כי וכך מחסרים את c מc והוא נמחק).
חישוב
עריכהנסמן נקודה שתשמש כנקודת מוצא. הפונקציה היא הפונקציה שמתאימה לכל ערך את נפח גוף הסיבוב המתקבל מסיבוב של השטח בין הפונקציה , הישרים , ו- , וציר הx, סביב ציר הx.
נחשב את הנגזרת של הפונקציה :
ברור שההפרש קטן מהגליל שנוצר מסיבוב מלבן סביב , וגדול מהגליל שנוצר מסיבוב מלבן סביב . נקבל:
(הקטע שווה ל והקטע )
נחלק ב ונקבל:
נפעיל גבול:
הגבול שווה ל ולכן:
כלומר הפונקציה היא פונקציה קדומה של . כעת נראה כי שימוש באינטגרל מסוים נותן ערך מדויק של הנפח:
נבחר פונקציה שגם היא פונקציה קדומה של . קיבלנו . כאשר נקבל שהנפח שווה ל0 ולכן:
כלומר הנפח בין הישרים ו לכל a וb שעבורם הפונקציה מוגדרת וגם האינטגרל מוגדר , הוא: .