מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה/דוגמאות

דוגמאותעריכה

להלן הסברים ומספר דוגמות למציאת הנגזרת של פונקציות שונות באמצעות הנוסחות הנתונות לעיל.

שורה 1עריכה

הנוסחה הראשונה מציגה את העקרון הבסיסי של נגזרת אלגברית.
שימו לב שב  נכללים בין השאר גם   וגם  .

דוגמה 1.1עריכה

אם נתונה הפונקציה  
אז על פי הנוסחה הראשונה:
 

דוגמה 1.2עריכה

אם נתונה הפונקציה  
אנו יודעים ששורש מx אפשר לכתוב גם כחזקה של חצי:  

ולכן אפשר להשתמש בנוסחה הראשונה למציאת הנגזרת:
 


שורה 2עריכה

כאשר הפונקציה של x אינה פשוטה, ובעצמה מכילה פונקציות של x, תהליך הגזירה על פי העיקרון הבסיסי הופך למאוד לא נוח. וכשלא נוח עושים טעויות.
כדי שלא יהיו טעויות, ניסחו את הנוסחה השניה, שעוסקת בגזירה כאשר יש כפל של פונקציות פשוטות.

דוגמה 2.1עריכה

נתונה הפונקציה  
מדובר במכפלה של פונקציות של x. אז נסמן אותן:
 
 

ואז נוכל להשתמש בנוסחה השניה:
 

ועכשיו, כשיש לנו את התשובה, כדאי שנשים לב שלמעשה הפונקציה שלנו היתה  
אם נשתמש בנוסחה הראשונה על הביטוי הזה, נגלה שהנוסחה השניה עובדת כמו שצריך.

אז למה הסתבכנו עם הנוסחה השניה אם היינו יכולים להכפיל ולהשתמש בראשונה?
כדי להראות איך משתמשים בנוסחה השניה. לא כל התרגילים כל כך פשוטים שאפשר פשוט לבצע את הכפל, אחרת לא היו ממציאים את הנוסחה השניה.

שורה 3עריכה

נוסחה שימושית נוספת היא נגזרת של מנה. חשוב לציין, כי כאשר יש נגזרת של מנה, ובתוכה מכפלה או שורש וכו', הנגזרת של המנה קודמת לנגזרת של המונה או המכנה.

דוגמה 3.1עריכה

 
 

דוגמה 3.2עריכה