להלן הסברים ומספר דוגמות למציאת הנגזרת של פונקציות שונות באמצעות הנוסחות הנתונות לעיל.
הנוסחה הראשונה מציגה את העקרון הבסיסי של נגזרת אלגברית.
x
n
{\displaystyle x^{n}}
x
1
=
x
{\displaystyle x^{1}=x}
x
0
=
1
{\displaystyle x^{0}=1}
אם נתונה הפונקציה
f
(
x
)
=
x
3
{\displaystyle \!\,f(x)={x^{3}}}
f
′
(
x
)
=
3
x
3
−
1
=
3
x
2
{\displaystyle \!\,f'(x)=3x^{3-1}=3x^{2}}
אם נתונה הפונקציה
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle \!\,f(x)={\sqrt {x}}}
f
(
x
)
=
x
=
x
1
2
{\displaystyle \!\,f(x)={\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}}
f
′
(
x
)
=
1
2
x
1
2
−
1
=
1
2
x
−
1
2
=
1
2
x
{\displaystyle \!\,f'(x)={\frac {1}{2}}x^{{\frac {1}{2}}-1}={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
כאשר הפונקציה של x אינה פשוטה, ובעצמה מכילה פונקציות של x, תהליך הגזירה על פי העיקרון הבסיסי הופך למאוד לא נוח. וכשלא נוח עושים טעויות.
נתונה הפונקציה
f
(
x
)
=
x
3
⋅
x
5
{\displaystyle \!\,f(x)={x^{3}}\cdot {x^{5}}}
u
=
x
3
{\displaystyle \!\,u=x^{3}}
v
=
x
5
{\displaystyle \!\,v=x^{5}}
ואז נוכל להשתמש בנוסחה השניה:
f
′
(
x
)
=
(
x
3
⋅
x
5
)
′
=
x
3
′
⋅
x
5
+
x
3
⋅
x
5
′
=
3
x
2
⋅
x
5
+
x
3
⋅
5
x
4
=
3
x
7
+
5
x
7
=
8
x
7
{\displaystyle \!\,f'(x)=({x^{3}}\cdot {x^{5}})'={x^{3}}'\cdot {x^{5}}+{x^{3}}\cdot {x^{5}}'=3{x^{2}}\cdot {x^{5}}+{x^{3}}\cdot 5{x^{4}}=3{x^{7}}+5{x^{7}}=8{x^{7}}}
ועכשיו, כשיש לנו את התשובה, כדאי שנשים לב שלמעשה הפונקציה שלנו היתה
f
(
x
)
=
x
3
⋅
x
5
=
x
8
{\displaystyle \!\,f(x)={x^{3}}\cdot {x^{5}}=x^{8}}
אז למה הסתבכנו עם הנוסחה השניה אם היינו יכולים להכפיל ולהשתמש בראשונה?
נוסחה שימושית נוספת היא נגזרת של מנה. חשוב לציין, כי כאשר יש נגזרת של מנה, ובתוכה מכפלה או שורש וכו', הנגזרת של המנה קודמת לנגזרת של המונה או המכנה.
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle \ f(x)={\frac {1}{x}}}
f
′
(
x
)
=
(
1
)
′
⋅
x
−
1
⋅
x
′
x
2
=
0
⋅
x
−
1
x
2
=
−
1
x
2
{\displaystyle \ f'(x)={\frac {(1)'\cdot x-1\cdot x'}{x^{2}}}={\frac {0\cdot x-1}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x^{2}}}}
f
(
x
)
=
x
3
4
x
−
7
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}}{4x-7}}}
f
′
(
x
)
=
(
x
3
)
′
⋅
(
4
x
−
7
)
−
(
4
x
−
7
)
′
⋅
x
3
(
4
x
−
7
)
2
=
3
x
2
⋅
(
4
x
−
7
)
−
4
x
3
(
4
x
−
7
)
2
=
12
x
3
−
21
x
2
−
4
x
3
(
4
x
−
7
)
2
=
8
x
3
−
21
x
2
(
4
x
−
7
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {(x^{3})'\cdot (4x-7)-(4x-7)'\cdot x^{3}}{(4x-7)^{2}}}={\frac {3x^{2}\cdot (4x-7)-4x^{3}}{(4x-7)^{2}}}={\frac {12x^{3}-21x^{2}-4x^{3}}{(4x-7)^{2}}}={\frac {8x^{3}-21x^{2}}{(4x-7)^{2}}}}
