מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה רציונלית ושורש

נתונה הפונקציה $f(x)={\frac {a{\sqrt {x+3}}}{x^{2}}}+5,a\neq 0$ מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מהן האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה? האם קיים ערך של שעבורו יש לפונקציה נקודות קיצון פנימיות? אם כן תן דוגמה. אם לא נמק. נתון גם ש-$a$ מצא את תחומי עלייה וירידה ושרטט סקיצה של גרף הפונקציה. נתונה הפונקציה $g(x)=|f(x)-8|$ שרטט את גרף הפונקציה $g(x)$

תחום ההגדרה $x^{2}\neq 0$ וגם $x+3\geq 0$ ולכן $x>-3,x\neq 0$ האסימפטוטה אנכית: $x=0$ אסימפטוטה אופקית: החזקה הגדולה נמצאת במונה ולכן על פי החוקים נקבל $f(x)=0+5=5$ נקודת חיתוך אסימפטוטה אופקית עם הפונקציה: ${\frac {a{\sqrt {x+3}}}{x^{2}}}+5=5$ נצמצם: ${\frac {a{\sqrt {x+3}}}{x^{2}}}=0$ נפתר מהמונה:$a{\sqrt {x+3}}=0$ נעלה בחזקה: $a^{2}(x+3)=0$ נקבל:$a^{2}x+3a^{2}=0$ נצמצם ונקבל: $x=-3$ דהינו האסימפטוטה והפונקציה נחתכות בנקודה $(-3,5)$ נגזור את הפונקציה: הפונקציה לפנינו היא פונקציה רציונאלית מורכבת עם שורש על כן תחילה נגזור כל פונקציה בנפרד ולאחר מכן נאחד פתרונות. נגזרת לפונקציה במונה : $g(x)'={\frac {a}{2{\sqrt {x+3}}}}$ נגזרת לפונקציה במכנה : $h(x)'=2x$ נקיים את החוקים לפונקציה רציונאלית ונקבל $f(x)'={\frac {{\frac {a}{2{\sqrt {x+3}}}}*x^{2}-2x*a{\sqrt {x+3}}}{x^{4}}}$ נמצא מכנה משותף: $f(x)'={\frac {ax^{2}-4xa(x+3)}{x^{4}}}$ נפתח סוגריים: $f(x)'={\frac {ax^{2}-4x^{2}a-12xa}{x^{4}}}$ נכס אברים:$f(x)'={\frac {-3x^{2}a-12xa}{x^{4}}}$ נוציא גורם משותף: $f(x)'={\frac {x(-3xa-12a)}{x^{4}}}$ נשווה את הנגזרת לאפס: ${xa(-3x-12)}=0$ נקבל $xa=0$ וגם $-3x-12=0$ (דהיינו $x=-4$ אבל פתרון זה מתבטל בגלל תחום ההגדרה!) על פי הפתרונות אין לנעלם $a=0$ השפעה על ערך ה-$x$ ולכן אין נקודות קיצון עם ביטוי זה. נבדוק תחומי עלייה וירידה על ידי הצבה: נקודות קיצון והגבולות (תחום הגדרה ואסימפטוטות) 1 0 -2 -3 x - אין + נקודת קצה y' יורדת אסימפטוטה עולה קצה y תחום עליה : $-3\leq x<0$ תחום ירידה: $x>0$ נשרטט גרף: עם ציר ה-X ששווה ל-5 ומהנקודה -3 נוציא אסימפטוטה עד ציר ה-Y לאחר מכן מצדו הימיני נרד. נשרטט גרף לפונקציה: הפונקציה החדשה שקבלנו היא הפונקציה שלנו + ערך C חופשי. ניתן להתייחס לפונקציה שלנו כאילו הייתה פרבולה. ברגע שמוסיפים ערף C לפרבולה היא עולה או יורדת על הצירים. במקרה שלנו הוסיפו מינוס ולכן היא יורדת -8. מאחר שהפונקציה מתחילה ב-5 נוריד אותה אל -3. השרטוט יראה בדיוק אותו שרטוט.