מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציות לוגריתמיות

פונקציות לוגריתמיותעריכה

נזכיר כאן את פעולת הלוגריתם. לטיפול מקיף יותר בנושא יש לעיין בספר אלגברה.

הגדרת הלוגריתם היא כדלהלן: בהינתן מספר חיובי שונה מ-1 שמסומן   שמכונה בסיס הלוגריתם, מוגדר כי   אם   . כלומר, הערך   הוא החזקה שבה יש להעלות את   כדי לקבל את המספר   .

כלומר פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה  .

נגזרתעריכה

כדי לגזור את הפונקציות הלוגריתמיות נשתמש בכך שהנגזרת של פונקציה מעריכית היא   וכן בכך שמתקיים  

נגזור את שני האגפים על פי פונקציה מורכבת ונקבל

 

תחום הגדרהעריכה

יש לשים לב לתחום ההגדרה של הפונקציות הלוגריתמיות. אף מספר חיובי שמועלה בחזקה כלשהי לא נותן מספר אי-חיובי, כלומר תחום ההגדרה הוא   ויש אסימפטוטה אנכית  , כי ככל שx מתקרב ל0 המספר שצריך להעלות בו את a כדי לקבל את x מתקרב למינוס אינסוף.

עלייה וקעירותעריכה

על פי הנגזרת שהראינו קודם נקבל שכל הפונקציות הלוגריתמיות בעלות בסיס חיובי עולות וקעורות כלפי מטה (קמורות).

חיתוךעריכה

החיתוך של כל הפונקציות הלוגריתמיות הוא בנקודה   כי כל מספר שמועלה בחזקת 0 נותן 1.

הלוגריתם הטבעיעריכה

הלוגריתם שבסיסו e (e = מספר אוילר = 2.71...) נקרא הלוגריתם הטבעי ומסומן  . הנגזרת של פונקציה זו היא   וברוב המחשבונים אין אפשרות לחישוב לוגריתם כללי, אלא רק הלוגריתם הטבעי.


פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.