מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות יחודיות/הפונקציות הטריגונומטריות של 30 מעלות

הפונקציה הטריגונומטרית לזוית $30^{\circ }$ נתון: $\angle \alpha =30^{\circ }$ $\angle \beta =90^{\circ }$ $\sin(\alpha )=|AB|$ $\cos(\alpha )=|OB|$ צ"ל: $|AB|=?$ $|OB|=?$ הוכחה: ${\begin{aligned}&\angle \beta =90^{\circ }\\&\angle \alpha =30^{\circ }\\&\downarrow \\&\angle A=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }\\&\downarrow \\&AB={\frac {1}{2}}OA({\color {Gray}\triangle })\\&AO=1_{cm}=r(Unitcircles)\\&\downarrow \\&{\color {blue}\sin(\alpha ^{\circ })=AB={\frac {1}{2}}}\\&\downarrow \\&({\frac {1}{2}})^{2}+OB^{2}=1\\&OB^{2}=1-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}\\&{\color {blue}OB={\sqrt {\frac {3}{4}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}\\\end{aligned}}$ ע"פ הנחה זו נוכל למצוא את $\tan(30^{\circ })$: $tan(30^{\circ })={\frac {\sin(30^{\circ })}{\cos(30^{\circ })}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}$