מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות יחודיות/הפונקציות הטריגונומטריות של 45 מעלות

הפונקציות הטריגונומטריות לזווית $\alpha ^{\circ }=45^{\circ }$ נתון משולש ישר זווית על מעגל היחידה. ($\angle \beta =90^{\circ }$) $\angle \alpha =45^{\circ }$ צ"ל $sin\alpha =|AB=?$ $cos\alpha =|OB|=?$ הוכחה ${\begin{aligned}\angle \beta =90^{\circ }\\\angle \alpha =45^{\circ }\\\downarrow \\\angle A=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }\\\downarrow \\{\color {blue}AB=OB=x}\\AO=1_{cm}={\text{r (Unit circles)}}\\\downarrow \\x^{2}+x^{2}=1\\2x^{2}=1\\x^{2}={\frac {1}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\\x={\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\downarrow \\{\color {blue}\sin(45^{\circ })=\cos(45^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}}\\\end{aligned}}$ ע"פ הנחה זו נוכל למצוא את $\tan(45^{\circ })$: $\tan(45^{\circ })={\frac {\sin(45^{\circ })}{\cos(45^{\circ })}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$