מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/מערך שיעור/משפט הסינוסים

זהו מערך שיעור במסגרת לימודי הטריגונומטריה לתלמידים שכבר למדו גיאומטריה אוקלידית. השיעור מוביל אל גילוי משפם הסינוסים (זוהי דוגמא ל"הצמחה" במקום "הצנחה" של משפט במתמטיקה).

מורה: מלימודי ההנדסה (האויקלידית) ידוע לנו כי כל משולש אפשר לחסום במעגל. איך?

תלמידים: חזרה על אופן קביעתו של מרכז המעגל החוסם משולש, על יחידותו של המעגל ועל מקומו של המרכז במישור ביחס למשולש (בתוך המשולש, מחוץ למשולש או על אחת הצלעות).

מורה: לכל משולש מתאים לפיכך מעגל חוסם אחד ויחיד; בלשון אחרת, יש התאמה חד- ערכית מקבוצת המשולשים על קבוצת המעגלים. מה יהיה מעניין לבדוק כעת?

תלמידים: נבדוק האם ההתאמה היא הפיכה כלומר, האם היא חד-חד-ערכית. האם לכל מעגל מתאים משולש אחד ורק אחד החסום בו? – כמובן שלא! בכל מעגל ניתן לחסום משולשים רבים ושונים: ישרי-זווית, כאשר מרכז המעגל נמצא על אחת הצלעות, חדי-זוויות, כאשר מרכז המעגל נמצא בתוך המשולש וקהי-זווית, כאשר מרכז המעגל נמצא מחוץ למשולש.

מורה: היחס 'חסום במעגל בעל רדיוס' מחלק אפוא את קבוצת המשולשים לקבוצות חלקיות זרות שאיחודן הוא קבוצת כל המשולשים (בכיתה שלמדה תורת הקבוצות יקשרו זאת התלמידים עם מחלקות שקילות. בכיתה שאינה רגילה במונחים הללו אפשר, כמובן, להתקדם גם בלי זה).

מורה: בכל פעם שנתקלים בקשר הנדסי או איכותי כדאי לבדוק האם וכיצד אפשר לתרגם אותו לקשר אלגברי, כמותי. ננסה אם כן לגלות (אם קיים) קשר אלגברי בין כל המשולשים החסומים במעגל אחד (זוהי הבעיה הפרודוקטיבית שהיא לפחות בחלקה גם לא- רוטינית, אשר סביבה יתפתח שיעור זה). התלמידים יתבקשו לשרטט במחברותיהם מעגל ברדיוס שכל אחד יבחר כרצונו ולבחור מבין שלושת סוגי המשולשים (שנדונו לעיל בקשר למקומו על מרכז המעגל החוסם) את הסוג שנראה להם כנוח ביותר לטיפול בשלב ראשון. קרוב לוודאי שלאחר המיון דלעיל יבחרו רובם במשולשים ישרי- זווית. אך גם אלה שישרטטו משולש חד-זוויות או קהה-זווית יחפשו קשר אלגברי. אין ספק כי אלה שיבחרו במשולשים ישרי-זווית יגלו מהר כי: -

תלמידים: בכל המשולשים ישרי-הזווית החסומים במעגל אחד היחס בין כל ניצב לבין סינוס הזווית שמולו קבוע ושווה למידת קוטרו של המעגל. ועל כן: ${\frac {a}{\sin A}}=2R\;\;\;\;{\frac {b}{\sin B}}=2R\;\;\;\;{\frac {c}{\sin C}}=2R$

מורה: מה יהיה השלב הבא?

תלמידים: נבדוק האם קשר זה מתקיים גם במשולשים אחרים החסומים באותו מעגל.

מורה: (אם נחוץ) בחרו לכם שוב רק סוג אחד של משולשים והתרכזו בבדיקת היחס בין צלע אחת שתבחרו לבין הזווית שמולה (ניתן להניח כי כולם יבחרו במשולשים חדי-זוויות או להניח שאלה שבחרו בהם יקדימו למצוא הוכחה). אם יתברר שהבעיה קשה מדי לחלק מהתלמידים אפשר יהיה לרמוז (רצוי באופן אינדיבידואלי) כך: נתבונן תחילה במשולש חד-זוויות שבו אחת הצלעות היא a והזווית שמולה A ( ראה שרטוט משמאל). האם תוכלו לבנות באותו מעגל משולש ישר-זווית ש-a היא אחת מצלעותיו והזווית שמולה חופפת לזווית A?(לאחר זמן מספיק לעבודה עצמית תירשם ההוכחה במלואה, של חלק זה, על הלוח, ונעבור למשולש קהה זווית).

תלמידים: (יש להניח שלפחות חלק מהם יעלה את השאלה הבאה ביוזמתו ואם לא - המורה יעשה זאת) האם גם במשולש קהה-זווית החסום באותו מעגל, היחס בין הניצב שמול הזווית הקהה לבין סינוס הזווית הקהה הוא כמידת הקוטר? בכיתה טובה אפשר להשאיר חלק זה כעבודת בית. בכל מקרה החלק המכריע של הפתרון הוא לראות כי הזווית הקהה משלימה ל- 180° את הזווית החדה הנמצאת מול אותה צלע במשולש חד-זוויות החסום באותו מעגל (ראה שרטוט 2). תלמיד שיגיע לכך בכוחות עצמו יעשה עבודה ברמת חשיבה גבוהה.

לאחר רישום ההוכחה השלמה על הלוח יהיה צורך לנסח שנית את המשפט הן באופן אלגברי והן באופן מילולי בהדגשת העובדה שהיחס שווה למידת הקוטר כלומר, הוא קבוע. היותו קבוע תשחרר אותנו מהצורך לטפל במעגלים ונוכל לעבוד על כל משולש בידיעה שהוא בר-חסימה ועל כן:

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}$

זהו המקום הטבעי למתן השם: משפט הסינוסים. הבעיות שטבעי עתה להעלות לדיון הן:

א. אלו סוגי בעיות של פתרון משולשים אפשר להתיר באמצעות משפט הסינוסים? (ז.צ.ז. , צ.צ.ז.)

ב. אלו סוגי בעיות של פתרון משולשים קשה או אי אפשר להתיר באמצעותו? (ומכאן פתח למשפט הקוסינוסים).

ג. את משפט הסינוסים אפשר לרשום גם כך:

$a\colon b:c=\sin \alpha \colon \sin \beta :\sin \gamma$

מה המשפט האיכותי (מהנדסת המישור) שזהו ניסוחו הכמותי?