מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ז/035006/תרגיל 4

טוען את הטאבים...

תרגיל (*)	נתונות שתי פונקציות: $a>0,f(x)=ax^{2}$ $b>0,g(x)={\frac {bx}{\sqrt {x^{2}+1}}}$ מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה $g(x)$ (אם יש כאלה). נמק. הבעת באמצעות $b$ אסימפטוטות (אם יש כאלה) של הפונקציה $g(x)$ המקבילות לצירים. הגרפים של שתי הפונקציות נחתכים בשתי נקודות בלבד.סרטט, במערכת צירים אחת, סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ וסקיצה של גרף $g(x)$ נתון כי אחת מנקודות החיתוך שבין הגרפים של שתי הפונקציות היא ב$x=1$ וכן נתון כי השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות הוא ${\frac {5}{3}}-{\sqrt {2}}$ חשב את ערכי הפרמטרים $a$ ו-$b$.
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	[1]

1

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

90%

#AAAAAA

center

סעיף א

בכדי למצוא נקודות עליה וירידה נבדוק תחילה את תחום ההגדרה. מאחר ששורש הפונקציה חייב להיות חיובי, הפונקציה מוגדרת לכל $x$.

נגזור את הפונקציה $g(x)={\frac {bx}{\sqrt {x^{2}+1}}}$ על פי כלל הגזירה של מנת פונקציה $g'(x)={\frac {h'*l-h*l'}{l^{2}}}$ תחילה בנפרד (כדי לא להתבלבל) ולאחר מכן נאחד את הפתרונות בהתאם:

• $h'(x)=b$
• $l'={\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

נציב ${\frac {b{\sqrt {x^{2}+1}}-bx*{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1x}}}}{x^{2}+1}}$

נפטר מהמכנה העליון ${\sqrt {x^{2}+1}}$ : ${\frac {\frac {b(x^{2}+1)-bx^{2}}{\sqrt {x^{2}+1x}}}{x^{2}+1}}$

נפתח סוגרים ובכדי להקל על העין נעזר בסימן חילוק פשוט : ${\frac {bx^{2}+b-bx^{2}}{\sqrt {x^{2}+1x}}}:(x^{2}+1)$

נפטר מהמכנה וצמצם :${\frac {b}{(x^{2}+1)*{\sqrt {x^{2}+1x}}}}$

מאחר ש-$b>0$ המונה חיובי. גם מכנה חיובי תמיד (הרי תחום ההגדרה חיובי לכל $x$):

• האיבר $x^{2}+1$ חייב להיות חיובי (מספר בחזקת שנתים)
• התוצאה של שורש גם היא חיובית.

במילים אחרות, כל מספר שנציב בנגזרת תמיד יביא תוצאה חיובית ולכן הפונקציה תמיד עולה.

סעיף ב

אספימטוטות אנכיות: הראינו כי הפונקציה מוגדרת לכל $x$ בסעיף הראשון ולכן אין אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות: בכדי למצוא לפונקציה עם שורש אסימפטוטה אופקית, חייבים להעזר בדרך הארוכה למציאת אסימפטוטות.

• האסימפטוטה מוגדרת לכל $x$ לכן נבדוק לכלל הערכים את האסימפטוטה כאשר $lim_{x\rightarrow \infty }$
  • נחלק בנעלם עם החזקה הגבוה ביותר ($x$) את הפונקציה: $g(x)={\frac {\frac {bx}{x}}{\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}}$
  • נכניס את הנעלם לשורש $g(x)={\frac {b}{\sqrt {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}}}$
  • נצמצם : $g(x)={\frac {b}{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}$
  • נציב $lim_{x\rightarrow \infty }$ : $g(x)={\frac {b}{\sqrt {1+{\frac {1}{0}}}}}={\frac {b}{1}}=b$
• נבדוק לכלל הערכים את האסימפטוטה כאשר $lim_{x\rightarrow -\infty }$
  • נחלק בנעלם עם החזקה הגבוה ביותר ($x$) את הפונקציה: $g(x)={\frac {\frac {bx}{x}}{\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}}$
  • נכניס את הנעלם לשורש ולא נשכח להוסיף מינוס לפני : $g(x)={\frac {b}{-{\sqrt {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}}}}$
  • נצמצם : $g(x)={\frac {b}{-{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}$
  • נציב $lim_{x\rightarrow \infty }$ : $g(x)={\frac {b}{-{\sqrt {1+{\frac {1}{0}}}}}}={\frac {b}{-1}}=-b$

האסימפטוטה עבור $lim_{x\rightarrow \infty }$ היא $b$

האסימפטוטה עבור $lim_{x\rightarrow -\infty }$ היא $-b$

סעיף ג

הפונקציה $a>0,f(x)=ax^{2}$ היא פרבולה עם מקדם $a$ שמשפיע על גודל הקעירות. אנו יודעים לשרטט פרבולה ולכן אין צורך לחקור את הפונקציה. כפי שניתן לראות נקודת החיתוך של הפונקציה עם הצירים היא בנקודה $(0,0)$ (לאחר הצבה $f(x)=a*0^{2}=0$ ו-$0=ax^{2}$)

הוכחנו כי הפונקציה $g(x)$ עולה לכל $x$ והאסימפטוטה שלה הן $b,-b$

נמצא את נקודות החיתוך שלה עם הצירים באמצעות הצבה $x=0$ ו-$y=0$ ונגלה כי היא נחתכת בנקודה $(0,0)$ (${\frac {b*0}{\sqrt {0^{2}+1}}}=0$ וכן גם עבור ${\frac {bx}{\sqrt {x^{2}+1}}}=0$)

מאחר שאנו עובדים עם פונקציה שעולה, פרבולה מעל ציר ה-$x$ ונקודת חיתוך בראשית הצירים, נקודת החיתוך חייבת להיות ברביע הראשון כדי שהפונקציות יענו על כל התנאים.

סעיף ד

נמצא את ערכי ה-$y$ של נקודת החיתוך x=$x=1$ באמצעות הצבת ערך הנקודה בכל אחת מהפונקציות:

• $(1,a^{2})f(1)=a*1^{2}=a^{2}$
• $(1,{\frac {b}{\sqrt {2}}})g(1)={\frac {1*b}{\sqrt {1^{2}+1}}}={\frac {b}{\sqrt {2}}}$

מאחר ומדובר על אותה נקודה נשווה בין ערכי ה-$y$ של הנקודה ונקבל את המשוואה ${\frac {b}{\sqrt {2}}}=a^{2}$ כלומר $b=a{\sqrt {2}}$

על פי הנתון השני בשאלה, השטח הכלוא בין שתי הפונקציות שווה ${\frac {5}{3}}-{\sqrt {2}}$:

• השטח כלוא בין שתי נקודות החיתוך כלומר בין $(0,0)$ לנקודה $(1,a^{2})$
• אנו רוצים לגלות שטח הכלוא בין שתי פונקציות ואנו נגלה אותו באמצעות:
  • מציאת השטח הכלוא בין הפונקציה $g(x)$ עם ציר ה-x בתחום נקודות החיתוך: $\int \limits _{1}^{0}g(x){\frac {bx}{\sqrt {x^{2}+1}}}dx$
  • מציאת השטח הכלוא בין הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-x בתחום נקודות החיתוך: $\int \limits _{1}^{0}f(x)a^{2}dx$
  • חיסור השטחים בתחומים הנ"ל, כלומר $\int \limits _{1}^{0}[{\frac {bx}{\sqrt {x^{2}+1}}}-ax^{2}]dx$
  • נבצע אינטגרציה:

$[{\frac {b}{2}}*{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}*2x-ax^{2}]={\frac {b}{2}}*2{\sqrt {x^{2}+1}}-{\frac {ax^{3}}{3}}$

• • נציב את התחומים ונקבל $b{\sqrt {2}}-{\frac {a}{3}}-(b-0)=b{\sqrt {2}}-b-{\frac {a}{3}}$
  • נשווה לשטח $b{\sqrt {2}}-b-{\frac {a}{3}}={\frac {5}{3}}-{\sqrt {2}}$

נציב את המשוואה הראשונה ($b=a{\sqrt {2}}$) בשניה : $a{\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}-a{\sqrt {2}}-{\frac {a}{3}}={\frac {5}{3}}-{\sqrt {2}}$

• נפטר מהמכנה : $6a-3a{\sqrt {2}}-a=5-3{\sqrt {2}}$
• $a={\frac {5-3{\sqrt {2}}}{5-3{\sqrt {2}}}}=1$

נמצא את $b$ באמצעות הצבה $a=1$ ב- $b=a{\sqrt {2}}$ ונקבל $b={\sqrt {2}}$