תבנית
|
הפונקציה מורכבת משלושה משתנים:
- קודקוד או מוקד (נקודת הקיצון) ונוסחתו (
)
- ישר הסימטריה או ישר מנחה הוא ישר המקביל לציר
ועובר דרך קודקוד הפרבולה. ישר מנחה מחלק את הפונקציה לשני חלקים שווים.
- שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטריים לישר הסימטריה של הפרבולה.
-
ככל שערך המוחלט של המקדם ![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc) גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר
-
ערך C מבטא את נקודת החיתוך עם ציר y. ככל שערכו גדל כך הפרבולה עולה במעלה ציר ![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d) , ולהפך. ככל שערך ![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455) קטן, כך הפרבולה יורדת בתחתית ציר ![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d) .
-
כאשר שלילי – הפרבולה זזה לכיוון ימין
-
כאשר חיובי – הפרבולה זזה לכיוון שמאל.
|
תחום הגדרה ותנאים מקדמים
|
כנלמד בפרק חקירת פונקציה ריבועית, פונקציה ממעלה שנייה יכולה להיות תחפושת לפונקציה לינארית ולכן כדי חייבים לבדוק את מקדם .
הפונקציה הריבועית, כמו כל פולינום, מוגדרת לכל .
|
חיתוך עם הצירים
|
חיתוך עם ציר
|
- בדיקה סוג הפרבולה ישרה (
) או הפוכה ( ).
- הצבה
בפונקציה.
- מציאת ערכי
עבורם באמצעות פעולות פישוט שונות לפתירת משוואה ממעלה שנייה (טרינום, פירוק לגורמים ועוד).
- שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
- ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה: "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").
|
- המקדם של הפרבולה
הוא . מאחר ש- הפרבולה ישרה .
- נציב
בפונקציה ![{\displaystyle 0=x^{2}+6x+9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f486d83a7ab6d44d7aef6667e12e82681678411)
- נעזר בנוסחת הכפל המקוצר
. נקבל . נקודת החיתוך עם ציר ה- היא ![{\displaystyle (-3,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad99ff62c19ff8d15079fd5cdd39b8e0ed25e6a7)
נקודת החיתוך של הפונקציה x^2+6x+9
|
כמה נקודות חיתוך
|
דוגמא לשלושת המצבים
בכדי לגלות כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה עם ציר ה- פתרנו את המשוואה . בהתאם להסבר בחקירת משוואה ממעלה שנייה כאשר:
- כאשר
יש שתי נקודות חיתוך.
- כאשר
יש נקודת חיתוך אחת.
- כאשר
אין נקודות חיתוך.
על פי רוב, נתבקש בסוף התרגיל לצייר את גרף הפונקציה ולכן נעדיף להציב במשוואה במשוואת הפונקציה ולמצוא את .
|
נמצא כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה עם ציר ה- :
- נמצא דלתא :
![{\displaystyle \Delta =6^{2}-4*9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3d9f421cdc4aa6f3b5c28899ba006b4fccb504)
- נפתח :
![{\displaystyle \Delta =36-36}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2261d0117417afc249b0ffec04dd0b126ccecf81)
- נצמצם :
![{\displaystyle \Delta =36-36=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f545d58d480272b414c455e14e76f6745630ec)
- המצב :
, כלומר לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה- .
|
חיתוך עם ציר
|
- הצבה
.
- פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
- חיתוך עם ציר
- פתרון יחיד.
- אין חיתוך עם ציר
- משוואה לא הגיונית, כמו למשל .
|
נקודת הקיצון
|
דרך א'
|
- ערך הנקודה
- שיעור
של קודקוד הפרבולה : .
- שיעור
של קודקוד הפרבולה - הצבת ערך ה- במשוואת הפונקציה. במקרה שהפרבולה היא מצורה קודקוד הפרבולה ![{\displaystyle (x_{c},c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5014a1e238e150034f2614732756775e9ea76d1)
- סוג נקודת קיצון נקבע על פי מקדם
. כאשר:
- מנמום (
).
- מקסימום (
).
|
- נציב במשוואה
את הנתונים של הפונקציה ![{\displaystyle y=x^{2}+6x+9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c096bbef37685550016497a63d4e32a7d70782a)
![{\displaystyle x={\frac {-6}{2*1}}=-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04499db182967e6abbc1150d1bcc56ccf327792f)
- נציב את ערך ה-
במשוואת הפונקציה ונקבל . מאחר שניתן לייצג את הפרבולה שלנו באמצעות , יכול לגלות את ערך ה- בקלות יתרה: ערך ה- הוא .
- מקדם ה-
הוא חיובי ( ) הפונקציה היא ישרה ( ) ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום.
במקרה זה נקודת הקיצון של הפונקציה היא גם נקודת החיתוך של הפונקציה.
|
דרך ב'
|
מציאת נגזרת הפרבולה ע"פ כללי הגזירה. השלבים :
- גזירה על פי חוקי גזירת חזקה
- מציאת ערך ה-
- נשווה לאפס ונמצא נקודות קיצון.
- מציאת ערך ה-
- נציב במשוואת הפונקציה את ערך ה- .
- זיהוי סוג הנקודה על פי מקדם
.
|
- נבצע גזירה לפונקציה
על פי גללי גזירת חזקה. נקבל .
- נשווה לאפס
נקבל כי נקודת הקיצון היא .
- נציב את ערך ה-
בפונקציה ונקבל . נקודת הקיצון המתקבלת היא .
- מקדם ה-
הוא חיובי ( ) הפונקציה היא ישרה ( ) ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום.
|
נקודות פיתול
|
אין
|
תחום שלילי וחיובי
|
- מציאת נקודות חיתוך עם ציר
.
- שרטוט צירים, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודת קיצון והפרבולה.
- קביעת תחומי עליה וירידה בהתאם לשרטוט של הגרף - סימון התחום הנדרש :
- מעל ציר
- תחום חיובי.
- מתחת ציר
- תחום שלילי.
|
תחומי עליה וירידה
|
על פי קודקוד הפרבולה, בהתאם לשרטוט.
|
פתירת משוואה
|
- פרבולה ישרה - יורדת כאשר
ועולה כאשר .
- פרבולה הפוכה - יורדת כאשר
ועולה כאשר .
|
אסימפטוטות
|
אין
|