מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית

פונקציה ריבועית או פרבולה.

תבנית

הפונקציה מורכבת משלושה משתנים:

  1. קודקוד או מוקד (נקודת הקיצון) ונוסחתו ()
  2. ישר הסימטריה או ישר מנחה הוא ישר המקביל לציר ועובר דרך קודקוד הפרבולה. ישר מנחה מחלק את הפונקציה לשני חלקים שווים.
  3. שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטריים לישר הסימטריה של הפרבולה.

תחום הגדרה ותנאים מקדמים

כנלמד בפרק חקירת פונקציה ריבועית, פונקציה ממעלה שנייה יכולה להיות תחפושת לפונקציה לינארית ולכן כדי חייבים לבדוק את מקדם .

הפונקציה הריבועית, כמו כל פולינום, מוגדרת לכל .

חיתוך עם הצירים חיתוך עם ציר
  1. בדיקה סוג הפרבולה ישרה () או הפוכה ().
  2. הצבה בפונקציה.
  3. מציאת ערכי עבורם באמצעות פעולות פישוט שונות לפתירת משוואה ממעלה שנייה (טרינום, פירוק לגורמים ועוד).
  4. שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
  5. ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה: "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").
  1. המקדם של הפרבולה הוא . מאחר ש- הפרבולה ישרה .
  2. נציב בפונקציה
  3. נעזר בנוסחת הכפל המקוצר . נקבל . נקודת החיתוך עם ציר ה- היא
  4. נקודת החיתוך של הפונקציה x^2+6x+9
כמה נקודות חיתוך
דוגמא לשלושת המצבים

בכדי לגלות כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה עם ציר ה- פתרנו את המשוואה . בהתאם להסבר בחקירת משוואה ממעלה שנייה כאשר:

  1. כאשר יש שתי נקודות חיתוך.
  2. כאשר יש נקודת חיתוך אחת.
  • כאשר אין נקודות חיתוך.

על פי רוב, נתבקש בסוף התרגיל לצייר את גרף הפונקציה ולכן נעדיף להציב במשוואה במשוואת הפונקציה ולמצוא את .

נמצא כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה עם ציר ה-:
  • נמצא דלתא :
  • נפתח :
  • נצמצם :
  • המצב : , כלומר לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-.
חיתוך עם ציר
  1. הצבה .
  2. פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
    • חיתוך עם ציר - פתרון יחיד.
    • אין חיתוך עם ציר - משוואה לא הגיונית, כמו למשל .
נקודת הקיצון
דרך א'
  1. ערך הנקודה
    • שיעור של קודקוד הפרבולה : .
    • שיעור של קודקוד הפרבולה - הצבת ערך ה- במשוואת הפונקציה. במקרה שהפרבולה היא מצורה קודקוד הפרבולה
    • סוג נקודת קיצון נקבע על פי מקדם . כאשר:
      • מנמום ().
      • מקסימום ().
  1. נציב במשוואה את הנתונים של הפונקציה
  2. נציב את ערך ה- במשוואת הפונקציה ונקבל . מאחר שניתן לייצג את הפרבולה שלנו באמצעות , יכול לגלות את ערך ה- בקלות יתרה: ערך ה- הוא .
  3. מקדם ה- הוא חיובי () הפונקציה היא ישרה () ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום.

במקרה זה נקודת הקיצון של הפונקציה היא גם נקודת החיתוך של הפונקציה.

דרך ב' מציאת נגזרת הפרבולה ע"פ כללי הגזירה. השלבים :
  1. גזירה על פי חוקי גזירת חזקה
  2. מציאת ערך ה- - נשווה לאפס ונמצא נקודות קיצון.
  3. מציאת ערך ה- - נציב במשוואת הפונקציה את ערך ה-.
  4. זיהוי סוג הנקודה על פי מקדם .
  1. נבצע גזירה לפונקציה על פי גללי גזירת חזקה. נקבל .
  2. נשווה לאפס נקבל כי נקודת הקיצון היא .
  3. נציב את ערך ה- בפונקציה ונקבל . נקודת הקיצון המתקבלת היא .
  4. מקדם ה- הוא חיובי () הפונקציה היא ישרה () ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום.
נקודות פיתול אין
תחום שלילי וחיובי
  1. מציאת נקודות חיתוך עם ציר .
  2. שרטוט צירים, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודת קיצון והפרבולה.
  3. קביעת תחומי עליה וירידה בהתאם לשרטוט של הגרף - סימון התחום הנדרש :
    • מעל ציר - תחום חיובי.
    • מתחת ציר - תחום שלילי.
תחומי עליה וירידה על פי קודקוד הפרבולה, בהתאם לשרטוט.
פתירת משוואה
  1. פרבולה ישרה - יורדת כאשר ועולה כאשר .
  2. פרבולה הפוכה - יורדת כאשר ועולה כאשר .
אסימפטוטות אין