המשך ההקדמה: פיזיקה קלאסית וקבוע פלנק
עריכה
ראינו עד כה שנערכו ניסויים שסתרו את תוצאות הפיזיקה הקלאסית. מאידך, הפיזיקה הקלאסית תיארה באופן מוצלח מאוד את כל התופעות בהן נתקל המדע עד אז. ומתעוררת השאלה: מתי יהא עלינו להשתמש בפיזיקה קוונטית?
ℏ
{\displaystyle \ \hbar }
[
ℏ
]
{\displaystyle \ [\hbar ]}
E
=
ℏ
ω
{\displaystyle \ E=\hbar \omega }
p
→
=
ℏ
k
→
=
(
l
e
n
g
h
)
2
⋅
m
a
s
s
t
i
m
e
{\displaystyle \ {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}={\frac {(lengh)^{2}\cdot mass}{time}}}
(
l
e
n
g
h
)
2
⋅
m
a
s
s
t
i
m
e
{\displaystyle \ {\frac {(lengh)^{2}\cdot mass}{time}}}
ℏ
{\displaystyle \ \hbar }
10
−
34
{\displaystyle \ 10^{-34}}
עריכה
אנרגית האלקטרונים:
e
=
E
⋅
V
0
≃
1
e
V
=
1.6
⋅
10
−
19
J
{\displaystyle \ e=E\cdot V_{0}\simeq 1eV=1.6\cdot 10^{-19}J}
ω
=
c
⋅
2
π
λ
{\displaystyle \ \omega =c\cdot {\frac {2\pi }{\lambda }}}
λ
≃
1000
A
˙
{\displaystyle \ \lambda \simeq 1000{\dot {A}}}
⇐
{\displaystyle \ \Leftarrow }
ω
≃
6
π
⋅
10
15
1
s
{\displaystyle \ \omega \simeq 6\pi \cdot 10^{15}{\frac {1}{s}}}
פעולה אופיינית
<:
E
ω
≃
10
−
35
{\displaystyle \ {\frac {E}{\omega }}\simeq 10^{-35}}
⇐
{\displaystyle \ \Leftarrow }
אם נרצה להסביר את התופעות כראוי.
עריכה
הספק:
P
≃
1
K
W
[
J
S
−
1
]
{\displaystyle \ P\simeq 1KW[JS^{-1}]}
ν
=
1
M
H
z
[
=
1
s
]
{\displaystyle \ \nu =1MHz\left[={\frac {1}{s}}\right]}
יחידות:
P
=
E
t
{\displaystyle \ P={\frac {E}{t}}}
P
ν
{\displaystyle \ {\frac {P}{\nu }}}
1
ν
{\displaystyle \ {\frac {1}{\nu }}}
P
ν
⋅
1
ν
=
P
⋅
ν
−
2
≃
10
31
ℏ
≫
ℏ
{\displaystyle \ {\frac {P}{\nu }}\cdot {\frac {1}{\nu }}=P\cdot \nu ^{-2}\simeq 10^{31}\hbar \gg \hbar }
עריכה
נתון מעגל RC עם הנתונים הבאים: קיבול:
c
≃
10
−
10
K
W
{\displaystyle \ c\simeq 10^{-10}KW}
L
≃
10
−
4
H
{\displaystyle \ L\simeq 10^{-4}H}
I
=
10
−
3
A
{\displaystyle \ I=10^{-3}A}
?
{\displaystyle \ ?}
אנרגית המעגל:
E
=
1
2
L
I
2
{\displaystyle \ E={\frac {1}{2}}LI^{2}}
זמן: תדירות עצמית של המעגל:
ω
=
1
L
C
{\displaystyle \ \omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}
⇐
{\displaystyle \ \Leftarrow }
1
2
L
I
2
L
C
≃
10
17
ℏ
≫
ℏ
{\displaystyle \ {\frac {1}{2}}LI^{2}{\sqrt {LC}}\simeq 10^{17}\hbar \gg \hbar }
⇐
{\displaystyle \ \Leftarrow }
עריכה
סדר גודל של אנרגית האלקטרון:
E
0
=
13.6
e
v
=
2
⋅
10
−
18
J
{\displaystyle \ E_{0}=13.6ev=2\cdot 10{-18}J}
אורך גל אופייני של קרינה אלקטרו מגנטית:
⇐
λ
≃
10
3
A
˙
{\displaystyle \ \Leftarrow \lambda \simeq 10^{3}{\dot {A}}}
ω
=
2
π
c
λ
≃
2
⋅
10
16
1
s
e
c
{\displaystyle \ \omega ={\frac {2\pi c}{\lambda }}\simeq 2\cdot 10^{16}{\frac {1}{sec}}}
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
E
ω
≃
10
−
34
J
⋅
s
e
c
≃
ℏ
{\displaystyle \ {\frac {E}{\omega }}\simeq 10^{-34}J\cdot sec\simeq \hbar }
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
עריכה
אנרגיה אופיינית של ריאקציה גרעינית:
E
=
8
M
e
v
≃
1.3
⋅
10
−
12
J
{\displaystyle \ E=8Mev\simeq 1.3\cdot 10^{-12}J}
גודל אופייני של הגרעין:
r
0
≃
1.2
⋅
10
−
15
m
{\displaystyle \ r_{0}\simeq 1.2\cdot 10^{-15}m}
מסת הנוקלאונים (=החלקיקים שבתוך גרעין האטום: פרוטון+נויטרון):
M
=
1.6
⋅
10
−
27
K
g
{\displaystyle \ M=1.6\cdot 10^{-27}Kg}
והפעולה: באופן כללי, נשים לב שמתקיים:
l
e
n
g
t
h
⋅
M
⋅
E
=
l
e
n
t
g
h
⋅
m
⋅
1
2
m
v
2
=
m
2
v
2
=
m
o
m
e
n
t
u
m
{\displaystyle \ length\cdot {\sqrt {M\cdot E}}=lentgh\cdot {\sqrt {m\cdot {\frac {1}{2}}mv^{2}}}={\sqrt {m^{2}v^{2}}}=momentum}
r
0
⋅
M
E
≃
5
⋅
10
−
35
J
⋅
s
e
c
≃
1
2
ℏ
{\displaystyle \ r_{0}\cdot {\sqrt {ME}}\simeq 5\cdot 10^{-35}\ J\cdot sec\simeq {\frac {1}{2}}\hbar }
⇐
{\displaystyle \ \Leftarrow }
מכיוון שהגדרת הפעולה היא יחידה, תמיד נוכל להיעזר בכלל זה.
עד כאן ההקדמה. ונעבור לאחת מהעדויות הראשונות לפיזיקה קוונטית:
עריכה
ניסוי זה מהווה, למעשה, את ההוכחה הראשונה לקיומו של הפוטון.
מקרינים קרינה בתדירות
ν
{\displaystyle \ \nu }
ν
′
{\displaystyle \ \nu '}
θ
{\displaystyle \ \theta }
לכאורה עליה לפלוט קרינה בתדירות
ν
{\displaystyle \ \nu }
האלקטרון (במנוחה):
P
e
=
0
,
E
e
=
m
c
2
{\displaystyle \ P_{e}=0,\ E_{e}=mc^{2}}
P
γ
=
h
ν
c
,
E
γ
=
h
ν
=
h
λ
{\displaystyle \ P_{\gamma }={\frac {h\nu }{c}},\ E_{\gamma }=h\nu ={\frac {h}{\lambda }}}
האלקטרון:
E
e
=
(
P
e
2
c
2
+
m
e
2
c
4
)
1
2
{\displaystyle \ E_{e}=\left(P_{e}^{2}c^{2}+m_{e}^{2}c^{4}\right)^{\frac {1}{2}}}
P
γ
=
h
ν
′
c
=
h
λ
′
,
e
γ
=
h
ν
′
{\displaystyle \ P_{\gamma }={\frac {h\nu '}{c}}={\frac {h}{\lambda '}},\ e_{\gamma }=h\nu '}
θ
e
{\displaystyle \ \theta _{e}}
θ
γ
{\displaystyle \ \theta _{\gamma }}
א) שימור אנרגיה :
h
ν
+
m
c
2
=
h
ν
′
+
m
2
c
4
+
p
2
c
2
{\displaystyle \ h\nu +mc^{2}=h\nu '+{\sqrt {m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}}
(1) ב) שימור תנע : בציר x (האופקי):
h
ν
c
=
h
ν
′
c
cos
θ
γ
+
P
e
cos
θ
e
{\displaystyle {\frac {h\nu }{c}}={\frac {h\nu '}{c}}\cos \theta _{\gamma }+P_{e}\cos \theta _{e}}
(2)
0
=
−
h
ν
′
c
sin
θ
γ
+
P
e
sin
θ
e
{\displaystyle \ 0=-{\frac {h\nu '}{c}}\sin \theta _{\gamma }+P_{e}\sin \theta _{e}}
(3)
⇒
(
h
ν
−
h
ν
′
+
m
c
2
)
2
=
m
2
c
4
+
P
e
2
c
2
{\displaystyle \ \Rightarrow \ \ \left(h\nu -h\nu '+mc^{2}\right)^{2}=m^{2}c^{4}+P_{e}^{2}c^{2}}
(1)
⇒
(
h
ν
−
h
ν
′
)
2
+
m
2
c
4
+
2
m
c
2
h
(
ν
−
ν
′
)
=
m
2
c
4
+
P
e
2
c
2
{\displaystyle \ \Rightarrow \ \left(h\nu -h\nu '\right)^{2}+m^{2}c^{4}+2mc^{2}h\left(\nu -\nu '\right)=m^{2}c^{4}+P_{e}^{2}c^{2}}
m
2
c
4
{\displaystyle \ m^{2}c^{4}}
(
h
ν
−
h
ν
′
)
2
+
2
m
c
2
h
(
ν
−
ν
′
)
=
P
e
2
c
2
{\displaystyle \ \ \left(h\nu -h\nu '\right)^{2}+2mc^{2}h\left(\nu -\nu '\right)=P_{e}^{2}c^{2}}
(4)
⇒
P
e
2
cos
2
θ
e
=
(
h
c
)
2
(
ν
−
ν
′
cos
θ
γ
)
2
{\displaystyle \ \Rightarrow P_{e}^{2}\cos ^{2}\theta _{e}=\left({\frac {h}{c}}\right)^{2}\left(\nu -\nu '\cos \theta _{\gamma }\right)^{2}}
(2)
⇒
P
e
2
sin
2
θ
e
=
(
h
c
)
2
(
ν
′
)
2
sin
2
θ
γ
{\displaystyle \ \Rightarrow P_{e}^{2}\sin ^{2}\theta _{e}=\left({\frac {h}{c}}\right)^{2}\left(\nu '\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{\gamma }}
(3)
⇒
P
e
2
c
2
=
(
h
ν
−
h
ν
′
cos
θ
γ
)
2
+
(
h
ν
′
sin
θ
γ
)
2
{\displaystyle \ \ \ \Rightarrow P_{e}^{2}c^{2}=\left(h\nu -h\nu '\cos \theta _{\gamma }\right)^{2}+\left(h\nu '\sin \theta _{\gamma }\right)^{2}}
(5)
⇒
P
e
2
c
2
=
(
h
ν
)
2
+
(
h
ν
′
)
2
−
2
h
2
ν
ν
′
cos
θ
γ
{\displaystyle \ \ \ \Rightarrow P_{e}^{2}c^{2}=\left(h\nu \right)^{2}+\left(h\nu '\right)^{2}-2h^{2}\nu \nu '\cos \theta _{\gamma }\ \ }
⇒
(
h
ν
−
h
ν
′
)
2
+
2
m
c
2
h
(
ν
−
ν
′
)
=
(
h
ν
)
2
+
(
h
ν
′
)
2
−
2
h
2
ν
ν
′
cos
θ
γ
{\displaystyle \ \Rightarrow \left(h\nu -h\nu '\right)^{2}+2mc^{2}h\left(\nu -\nu '\right)=\left(h\nu \right)^{2}+\left(h\nu '\right)^{2}-2h^{2}\nu \nu '\cos \theta _{\gamma }}
(5) + (4)
⇒
2
m
c
2
h
(
ν
−
ν
′
)
=
2
h
2
ν
ν
′
−
2
h
2
ν
ν
′
cos
θ
γ
{\displaystyle \ \Rightarrow 2mc^{2}h\left(\nu -\nu '\right)=2h^{2}\nu \nu '-2h^{2}\nu \nu '\cos \theta _{\gamma }}
נכפול את שני האגפים בביטוי
1
2
h
m
c
2
ν
ν
′
{\displaystyle \ {\frac {1}{2hmc^{2}\nu \nu '}}}
ν
−
ν
′
ν
ν
′
=
h
m
c
2
(
1
−
c
o
s
θ
γ
)
{\displaystyle \ {\frac {\nu -\nu '}{\nu \nu '}}={\frac {h}{mc^{2}}}\left(1-cos\theta _{\gamma }\right)}
ν
−
ν
′
ν
ν
′
=
1
ν
′
−
1
ν
=
(
c
ν
′
−
c
ν
)
⋅
1
c
=
(
λ
′
−
λ
)
1
c
{\displaystyle \ {\frac {\nu -\nu '}{\nu \nu '}}={\frac {1}{\nu '}}-{\frac {1}{\nu }}=\left({\frac {c}{\nu '}}-{\frac {c}{\nu }}\right)\cdot {\frac {1}{c}}=\left(\lambda '-\lambda \right){\frac {1}{c}}}
λ
′
−
λ
=
h
m
c
(
1
−
cos
θ
γ
)
{\displaystyle \ \lambda '-\lambda ={\frac {h}{mc}}\left(1-\cos \theta _{\gamma }\right)}
שימו לב לתוצאה מעניינת מאוד: הפרש אורכי הגל תלוי אך ורק בזווית הפיזור, ולא בשום דבר אחר!
h
m
c
{\displaystyle {\frac {h}{mc}}}
λ
c
=
0.0243
Å
{\displaystyle \lambda _{c}=0.0243\mathrm {\AA} }
עריכה
מקור אור נקודתי נמצא מאחורי 2 סדקים,
N
1
{\displaystyle \ N_{1}}
N
2
{\displaystyle \ N_{2}}
D
{\displaystyle \ D}
L
{\displaystyle \ L}
L
≫
D
{\displaystyle \ L\gg D}
ψ
(
r
→
,
t
)
=
ψ
0
e
i
(
k
→
⋅
r
→
−
ω
t
)
{\displaystyle \ \psi \left({\vec {r}},t\right)=\psi _{0}e^{i\left({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t\right)}}
D
′
{\displaystyle \ D'}
C
{\displaystyle \ C}
x
{\displaystyle \ x}
D
′
{\displaystyle \ D'}
C
{\displaystyle \ C}
ψ
(
C
)
=
ψ
1
+
ψ
2
=
ψ
0
e
−
i
ω
t
(
e
i
k
→
⋅
r
→
1
+
e
i
k
→
⋅
r
→
2
)
{\displaystyle \ \psi \left(C\right)=\psi _{1}+\psi _{2}=\psi _{0}e^{-i\omega t}\left(e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}_{1}}+e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}_{2}}\right)}
r
→
1
=
N
1
c
→
,
r
→
2
=
N
2
c
→
{\displaystyle \ {\vec {r}}_{1}={\vec {N_{1}c}},\ {\vec {r}}_{2}={\vec {N_{2}c}}}
C
{\displaystyle \ C}
I
(
C
)
=
|
ψ
(
C
)
|
2
=
|
ψ
0
|
2
|
e
−
i
ω
t
|
2
⏟
=
1
2
=
1
|
e
i
k
→
⋅
r
→
1
+
e
i
k
→
⋅
r
→
2
|
2
=
{\displaystyle \ I\left(C\right)=\left|\psi \left(C\right)\right|^{2}=\left|\psi _{0}\right|^{2}\underbrace {\left|e^{-i\omega t}\right|^{2}} _{=1^{2}=1}\left|e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}_{1}}+e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}_{2}}\right|^{2}=}
=
|
ψ
0
|
2
2
|
1
+
e
i
k
→
⋅
(
r
→
2
−
r
→
1
)
|
=
2
|
ψ
0
|
2
[
1
+
c
o
s
(
k
→
⋅
(
r
→
2
−
r
→
1
)
)
]
{\displaystyle \ =\left|\psi _{0}\right|^{2}2\left|1+e^{i{\vec {k}}\cdot \left({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}\right)}\right|=2\left|\psi _{0}\right|^{2}\left[1+cos\left({\vec {k}}\cdot \left({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}\right)\right)\right]}
הפרש פאזה באופן הבא:
δ
=
△
k
→
⋅
(
r
→
2
−
r
→
1
)
=
2
π
λ
(
|
N
2
c
¯
|
cos
θ
2
−
|
N
1
c
¯
|
cos
θ
1
)
{\displaystyle \ \delta \ _{=}^{\triangle }\ {\vec {k}}\cdot \left({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}\right)={\frac {2\pi }{\lambda }}\left(\left|{\bar {N_{2}c}}\right|\cos \theta _{2}-\left|{\bar {N_{1}c}}\right|\cos \theta _{1}\right)}
cos
θ
1
≃
cos
θ
2
≃
1
⇐
θ
1
,
θ
2
≪
1
⇐
x
≪
L
,
D
≪
L
{\displaystyle \ \cos \theta _{1}\simeq \cos \theta _{2}\simeq 1\ \Leftarrow \ \theta _{1},\theta _{2}\ll 1\ \Leftarrow x\ll L,\ D\ll L}
ונקבל שהפרש הפאזה הינו:
δ
=
2
π
λ
(
|
N
2
C
¯
|
−
|
N
1
C
¯
|
)
{\displaystyle \ \delta ={\frac {2\pi }{\lambda }}\left(\left|{\bar {N_{2}C}}\right|-\left|{\bar {N_{1}C}}\right|\right)}
טענה: מתקיים:
δ
≃
2
π
λ
D
x
L
{\displaystyle \ \delta \simeq {\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {Dx}{L}}}
I
(
C
)
=
2
|
ψ
0
|
2
(
1
+
cos
2
π
λ
D
x
L
)
{\displaystyle \ I\left(C\right)=2\left|\psi _{0}\right|^{2}\left(1+\cos {\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {Dx}{L}}\right)}
הוכחה (הסבר) : נבחן את עוצמת האור כפונקציה של
θ
=
x
L
{\displaystyle \ \theta ={\frac {x}{L}}}
מתקיים:
tan
θ
1
=
x
+
D
2
L
,
tan
θ
2
=
x
−
D
2
L
{\displaystyle \ \tan \theta _{1}={\frac {x+{\frac {D}{2}}}{L}},\ \tan \theta _{2}={\frac {x-{\frac {D}{2}}}{L}}}
D
,
D
2
≪
L
{\displaystyle \ D,{\frac {D}{2}}\ll L}
tan
θ
1
≃
tan
θ
2
≃
tan
θ
=
x
L
{\displaystyle \ \tan \theta _{1}\simeq \tan \theta _{2}\simeq \tan \theta ={\frac {x}{L}}}
n
∈
Z
,
2
π
λ
D
x
i
L
=
2
π
n
{\displaystyle \ n\in \mathbb {Z} ,\ {\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {Dx_{i}}{L}}=2\pi n}
x
i
=
λ
L
D
n
{\displaystyle \ x_{i}={\frac {\lambda L}{D}}n}
עריכה
גל מישורי פוגע בגביש:
l
1
,
l
2
{\displaystyle \ l_{1},\ l_{2}}
δ
=
2
π
λ
(
H
0
M
′
¯
+
M
′
H
¯
)
{\displaystyle \ \delta ={\frac {2\pi }{\lambda }}\left({\bar {H_{0}M'}}+{\bar {M'H}}\right)}
{
β
+
θ
=
π
2
α
+
β
+
ϕ
+
π
2
⇒
α
−
θ
+
ϕ
=
0
⇒
α
=
θ
−
ϕ
{\displaystyle \ \left\{{\begin{matrix}\beta +\theta ={\frac {\pi }{2}}\\\alpha +\beta +\phi +{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}\right.\Rightarrow \alpha -\theta +\phi =0\ \ \Rightarrow \alpha =\theta -\phi }
{
b
a
=
sin
α
=
sin
(
θ
−
ϕ
)
d
a
=
cos
ϕ
⇒
b
=
H
0
M
¯
=
d
cos
ϕ
sin
(
θ
−
ϕ
)
{\displaystyle \ \left\{{\begin{matrix}{\frac {b}{a}}=\sin \alpha =\sin \left(\theta -\phi \right)\\{\frac {d}{a}}=\cos \phi \end{matrix}}\right.\ \Rightarrow b={\bar {H_{0}M}}={\frac {d}{\cos \phi }}\sin \left(\theta -\phi \right)}
...המשך בשיעור הבא...
![{\displaystyle \ [\hbar ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629567d4152b96f6d4aedf34071612cb1c818232)
![{\displaystyle \ P\simeq 1KW[JS^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd108682ef65b79f207ddcbc4c6b9132b716f57a)
![{\displaystyle \ \nu =1MHz\left[={\frac {1}{s}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0150275f48d532e4770762568a4377eca5414ad3)
. סדר גודל של זרם אופייני: .
.
![{\displaystyle \ =\left|\psi _{0}\right|^{2}2\left|1+e^{i{\vec {k}}\cdot \left({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}\right)}\right|=2\left|\psi _{0}\right|^{2}\left[1+cos\left({\vec {k}}\cdot \left({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}\right)\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2ace10589a21ccd8f406cc10d82e923809b758)
