תזכורת : אנו דנים בפיזור בראג (Bragg) של גלים א"מ ע"י גביש: הפרש הפאזה :
δ
=
2
π
λ
(
H
0
M
′
¯
+
M
′
H
¯
)
{\displaystyle \ \delta ={\frac {2\pi }{\lambda }}\left({\bar {H_{0}M'}}+{\bar {M'H}}\right)}
{
H
0
M
′
¯
=
M
M
′
¯
sin
(
θ
−
ϕ
)
d
M
′
M
¯
=
cos
ϕ
⇒
H
0
M
′
¯
=
d
cos
ϕ
sin
(
θ
−
ϕ
)
{\displaystyle \ \left\{{\begin{matrix}{\bar {H_{0}M'}}={\bar {MM'}}\sin \left(\theta -\phi \right)\\{\frac {d}{\bar {M'M}}}=\cos \phi \end{matrix}}\right.\Rightarrow {\bar {H_{0}M'}}={\frac {d}{\cos \phi }}\sin \left(\theta -\phi \right)}
{
ϕ
+
θ
+
γ
=
π
2
M
′
H
¯
M
′
M
¯
=
cos
γ
⇒
M
′
H
¯
=
M
′
M
¯
sin
(
θ
+
ϕ
)
{\displaystyle \ \left\{{\begin{matrix}\phi +\theta +\gamma ={\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\bar {M'H}}{\bar {M'M}}}=\cos \gamma \end{matrix}}\right.\Rightarrow {\bar {M'H}}={\bar {M'M}}\sin \left(\theta +\phi \right)}
H
0
M
′
¯
+
M
′
H
¯
=
d
cos
ϕ
[
sin
(
θ
−
ϕ
)
+
sin
(
θ
+
ϕ
)
]
=
2
d
sin
θ
{\displaystyle \ {\bar {H_{0}M'}}+{\bar {M'H}}={\frac {d}{\cos \phi }}\left[\sin \left(\theta -\phi \right)+\sin \left(\theta +\phi \right)\right]=2d\sin \theta }
⇒
δ
=
2
π
λ
2
d
sin
θ
=
2
π
n
,
n
∈
Z
{\displaystyle \Rightarrow \ \delta ={\frac {2\pi }{\lambda }}2d\sin \theta =2\pi n,\ n\in \mathbb {Z} }
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
n
λ
=
2
d
sin
θ
{\displaystyle \ n\lambda =2d\sin \theta }
דנו כבר בקשר שבין א"מ ומכניקה קלאסית - הדואליות של גל-חלקיק .
1.
מסה
m
{\displaystyle \ m}
2.
תנע
p
→
=
m
v
→
{\displaystyle \ {\vec {p}}=m{\vec {v}}}
3.
אנרגיה קינטית
E
=
p
2
2
m
{\displaystyle \ E={\frac {p^{2}}{2m}}}
אורך גל
λ
m
{\displaystyle \ \lambda _{m}}
באופן הבא:
k
m
→
=
2
π
λ
m
n
^
{\displaystyle \ {\vec {k_{m}}}={\frac {2\pi }{\lambda _{m}}}{\hat {n}}}
p
→
=
ℏ
k
m
→
{\displaystyle \ {\vec {p}}=\hbar {\vec {k_{m}}}}
(
k
m
→
=
p
→
ℏ
⇐
)
{\displaystyle \left({\vec {k_{m}}}={\frac {\vec {p}}{\hbar }}\Leftarrow \right)}
λ
m
=
2
π
k
m
=
2
π
p
ℏ
=
2
π
p
h
2
π
=
h
p
{\displaystyle \ \lambda _{m}={\frac {2\pi }{k_{m}}}={\frac {2\pi }{p}}\hbar ={\frac {2\pi }{p}}{\frac {h}{2\pi }}={\frac {h}{p}}}
וקיבלנו את אורך גל דה-ברולי :
λ
m
=
h
p
{\displaystyle \ \lambda _{m}={\frac {h}{p}}}
צורת כתיבה נוספת:
λ
m
=
h
m
v
=
h
2
m
E
{\displaystyle \ \lambda _{m}={\frac {h}{mv}}={\frac {h}{\sqrt {2mE}}}}
מהו אורך גל דה-ברולי של חלקיק בעל מסה
m
=
10
−
9
g
{\displaystyle \ m=10^{-9}g}
v
=
3
⋅
10
8
m
s
e
c
{\displaystyle \ v=3\cdot 10^{8}{\frac {m}{sec}}}
פתרון : ראשית נבצע המרה של יחידות:
h
=
6.62
×
10
−
34
J
⋅
s
e
c
=
6.62
×
10
−
34
k
g
⋅
m
2
s
e
c
2
⋅
s
e
c
=
6.62
×
10
−
31
g
⋅
m
2
s
e
c
{\displaystyle \ h=6.62\times 10^{-34}J\cdot sec=6.62\times 10^{-34}{\frac {kg\cdot m^{2}}{sec^{2}}}\cdot sec=6.62\times 10^{-31}{\frac {g\cdot m^{2}}{sec}}}
λ
m
=
h
m
v
=
6.62
×
10
−
31
g
⋅
m
2
s
e
c
10
−
9
g
⋅
3
×
10
8
m
s
e
c
=
6.62
×
10
−
31
m
0.3
=
2.2
×
10
−
30
m
=
2.2
×
10
−
20
A
˙
{\displaystyle \ \lambda _{m}={\frac {h}{mv}}={\frac {6.62\times 10^{-31}{\frac {g\cdot m^{2}}{sec}}}{10^{-9}g\cdot 3\times 10^{8}{\frac {m}{sec}}}}={\frac {6.62\times 10^{-31}m}{0.3}}=2.2\times 10^{-30}m=2.2\times 10^{-20}{\dot {A}}}
1
A
˙
{\displaystyle \ 1{\dot {A}}}
הערה חשובה: בוודאי שמתם לב, כי ראשית טיפלנו ביחידות, ורק לאחר מכן הצבנו את הנתונים בנוסחא. כאו הוא המקום לשוב ולהדגיש, כי לא ניתן להפריז בחשיבותן של היחידות בכל הנוגע לפיזיקה, וכי טעות ביחידות יכולה להוביל לבלבול ולטעויות רבות.
כדאי לדעת:
חשוב לשים לב ליחידות בפיזיקה!
נתון אלקטרון בעל
E
k
=
150
e
v
,
m
e
=
1.16
×
10
k
g
−
19
{\displaystyle \ E_{k}=150_{ev},\ m_{e}=1.16\times 10_{kg}^{-19}}
λ
m
{\displaystyle \ \lambda _{m}}
פתרון :
λ
m
=
h
2
m
E
=
6.62
×
10
−
34
J
⋅
s
e
c
2
∗
1.16
×
10
k
g
−
19
∗
150
e
v
=
5.9
×
10
−
9
J
⋅
s
e
c
k
g
⋅
e
v
≃
1
A
˙
{\displaystyle \ \lambda _{m}={\frac {h}{\sqrt {2mE}}}={\frac {6.62\times 10^{-34}J\cdot sec}{\sqrt {2*1.16\times 10_{kg}^{-19}*150_{ev}}}}=5.9\times 10^{-9}{\frac {J\cdot sec}{kg\cdot ev}}\simeq 1{\dot {A}}}
כן נוכל להבחין בתופעות גליות.
נתון מיתר חד מימדי. עבור רגע נתון
t
{\displaystyle \ t}
x
{\displaystyle \ x}
v
2
∂
2
y
∂
x
2
=
∂
2
y
∂
x
2
(
∗
)
{\displaystyle \ v^{2}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}(*)}
פתרון מתמטי
עריכה
(
∗
)
{\displaystyle \ (*)}
כאן - מדח ):
p
=
x
−
v
t
q
=
x
+
v
t
⇔
x
=
q
+
p
2
t
=
q
−
p
2
v
{\displaystyle {\begin{matrix}p=x-vt&&q=x+vt\\&\Leftrightarrow &\\x={\frac {q+p}{2}}&&t={\frac {q-p}{2v}}\end{matrix}}}
ואז, הנגזרות החלקיות תהיינה:
∂
∂
x
=
∂
∂
p
∂
p
∂
x
+
∂
∂
q
∂
q
∂
x
=
∂
∂
p
+
∂
∂
q
⇒
∂
∂
x
2
=
∂
∂
p
+
∂
∂
q
∂
∂
t
=
∂
∂
p
∂
p
∂
t
+
∂
∂
q
∂
q
∂
t
=
−
v
∂
∂
p
+
v
∂
∂
q
⇒
∂
∂
t
2
=
v
2
(
∂
∂
p
−
∂
∂
q
)
{\displaystyle \ {\begin{matrix}{\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial p}}+{\frac {\partial }{\partial q}}&\Rightarrow &{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial }{\partial p}}+{\frac {\partial }{\partial q}}\\{\frac {\partial }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial t}}=-v{\frac {\partial }{\partial p}}+v{\frac {\partial }{\partial q}}&\Rightarrow &{\frac {\partial }{\partial t^{2}}}=v^{2}\left({\frac {\partial }{\partial p}}-{\frac {\partial }{\partial q}}\right)\end{matrix}}}
y
(
p
,
q
)
=
f
(
p
)
+
≀
g
1
(
q
)
d
q
=
f
(
p
)
+
g
(
q
)
⇐
∂
y
∂
p
=
g
1
(
q
)
{\displaystyle \ y(p,q)=f(p)+\wr g1(q)dq=f(p)+g(q)\Leftarrow {\frac {\partial y}{\partial p}}=g_{1}(q)}
⇒
y
(
x
,
t
)
=
f
(
x
−
v
t
)
+
g
(
x
−
v
t
)
{\displaystyle \ \Rightarrow y(x,t)=f(x-vt)+g(x-vt)}
משמעות פיזיקלית, יחס הדיספרציה
עריכה
נניח לרגע ש-
g
≡
0
{\displaystyle \ g\equiv 0}
y
(
x
,
t
)
=
f
(
x
−
v
t
)
{\displaystyle \ y(x,t)=f(x-vt)}
x
^
{\displaystyle \ {\hat {x}}}
f
≡
0
{\displaystyle \ f\equiv 0}
y
(
x
,
t
)
=
g
(
x
+
v
t
)
{\displaystyle \ y(x,t)=g(x+vt)}
−
x
^
{\displaystyle \ -{\hat {x}}}
המקרה הקנוני
עריכה
נסמן :
A
= משרעת
k
=
2
π
λ
{\displaystyle \ k={\frac {2\pi }{\lambda }}}
=מספר הגל
ω
=
2
π
T
{\displaystyle \ \omega ={\frac {2\pi }{T}}}
=תדירות
f
(
x
−
v
t
)
=
A
cos
(
k
[
x
−
v
t
]
+
ϕ
)
=
a
cos
(
k
x
−
k
v
t
+
ϕ
)
=
{\displaystyle \ f(x-vt)=A\cos \left(k\left[x-vt\right]+\phi \right)=a\cos \left(kx-kvt+\phi \right)=}
=
a
cos
(
2
π
λ
x
−
2
π
t
T
+
ϕ
)
{\displaystyle \ =a\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}x-{\frac {2\pi t}{T}}+\phi \right)}
(
ϕ
)
{\displaystyle \ \left(\phi \right)}
f
(
x
−
v
t
)
=
a
cos
(
k
x
−
ω
t
)
{\displaystyle \ f(x-vt)=a\cos(kx-\omega t)}
∂
2
∂
x
2
f
=
−
A
k
2
cos
(
k
x
−
ω
t
)
∂
2
∂
t
2
f
=
−
A
ω
2
cos
(
k
x
−
ω
t
)
}
⇒
⏟
∗
ω
=
v
k
{\displaystyle \ \left.{\begin{matrix}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}f&=&-Ak^{2}\cos \left(kx-\omega t\right)\\{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}f&=&-A\omega ^{2}\cos \left(kx-\omega t\right)\end{matrix}}\right\}\underbrace {\Rightarrow } _{*}\omega =vk}
ω
=
ω
(
k
)
{\displaystyle \ \omega =\omega (k)}
יחס הדיספרציה (נפיצות), ובאמצעותו ניתן תמיד לבנות את משוואת הגל.
חשמל וגלים :
מהירות פאזה:
v
p
≡
ω
k
{\displaystyle \ v_{p}\equiv {\frac {\omega }{k}}}
v
g
≡
∂
ω
∂
k
{\displaystyle \ v_{g}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}
ω
=
v
k
{\displaystyle \ \omega =vk}
v
p
=
v
g
=
v
{\displaystyle \ v_{p}=v_{g}=v}
דוגמא - חלקיק יחסותי
עריכה
נתון חלקיק יחסותי
E
=
p
2
c
2
+
m
2
c
4
{\displaystyle \ E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}
E
=
ℏ
ω
,
p
=
ℏ
k
{\displaystyle \ E=\hbar \omega ,\ p=\hbar k}
⇐
ℏ
ω
=
ℏ
2
k
2
c
2
+
m
2
c
4
{\displaystyle \ \Leftarrow \hbar \omega ={\sqrt {\hbar ^{2}k^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}
ω
=
k
2
c
2
+
m
2
c
4
ℏ
2
{\displaystyle \ \omega ={\sqrt {k^{2}c^{2}+{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}}}}
שימו לב! עבור
m
=
0
{\displaystyle m=0}
ω
=
k
c
{\displaystyle \ \omega =kc}
מהירות הפאזה (חסרת משמעות פיזיקלית, לכן יכול להיות גדולה מ-
c
{\displaystyle \ c}
v
p
=
ω
k
=
c
1
+
m
2
c
2
ℏ
2
k
2
≥
c
{\displaystyle \ v_{p}={\frac {\omega }{k}}=c{\sqrt {1+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}k^{2}}}}}\geq c}
מהירות החבורה (המהירות בה עוברת האנרגיה, כמובן
c
≥
{\displaystyle \ c\geq }
v
g
=
∂
ω
∂
k
=
c
1
+
m
2
c
2
ℏ
2
k
2
≤
c
{\displaystyle \ v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {c}{\sqrt {1+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}k^{2}}}}}}\leq c}
דוגמא - גל חומר לא יחסותי
עריכה
אנרגיה קינטית:
E
=
p
2
2
m
{\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}
p
=
ℏ
⇒
E
=
ℏ
2
k
2
2
m
{\displaystyle \ p=\hbar \Rightarrow E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}
E
=
ℏ
ω
{\displaystyle \ E=\hbar \omega }
ℏ
ω
=
ℏ
2
ω
2
2
m
⇐
{\displaystyle \ \hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}}{2m}}\Leftarrow }
ω
=
ℏ
k
2
2
m
{\displaystyle \ \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}
המהירויות :
v
p
=
ℏ
k
2
m
,
v
g
=
ℏ
k
m
{\displaystyle \ v_{p}={\frac {\hbar k}{2m}},\ v_{g}={\frac {\hbar k}{m}}}
v
g
=
2
⋅
v
p
{\displaystyle \ v_{g}=2\cdot v_{p}}
סופרפוזיציה של גלים מישוריים: חבורת גלים
עריכה
משפט : כל פתרון של משוואת הגלים הינו סופרפוזיציה של גלים הרמונים מישוריים, אפילו גל כזה:
דוגמא : פעימות של שני גלים הרמוניים:
{
y
1
(
x
,
t
)
=
a
⋅
cos
(
k
1
x
+
ω
t
)
y
2
(
x
,
t
)
=
a
⋅
cos
(
k
2
x
+
ω
t
)
{\displaystyle \ \left\{{\begin{matrix}y_{1}(x,t)=a\cdot \cos \left(k_{1}x+\omega t\right)\\y_{2}(x,t)=a\cdot \cos \left(k_{2}x+\omega t\right)\end{matrix}}\right.}
y
(
x
,
t
)
=
y
1
(
x
,
t
,
)
+
y
2
(
x
,
t
)
=
2
a
⋅
cos
(
1
2
(
k
1
+
k
2
)
x
+
ω
t
)
⋅
c
o
s
(
1
2
(
k
1
−
k
2
)
x
)
{\displaystyle \ y(x,t)=y_{1}(x,t,)+y_{2}(x,t)=2a\cdot \cos \left({\frac {1}{2}}\left(k_{1}+k_{2}\right)x+\omega t\right)\cdot \ cos\left({\frac {1}{2}}\left(k_{1}-k_{2}\right)x\right)}
מכניקה - חשמל וגלים , לכן כולנו יודעים איך הוא נראה:
(...המשך בשיעור הבא...)
![{\displaystyle \ {\bar {H_{0}M'}}+{\bar {M'H}}={\frac {d}{\cos \phi }}\left[\sin \left(\theta -\phi \right)+\sin \left(\theta +\phi \right)\right]=2d\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37e34cac053f9d9bd454d90875a385437049f01)
![{\displaystyle \ f(x-vt)=A\cos \left(k\left[x-vt\right]+\phi \right)=a\cos \left(kx-kvt+\phi \right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdaace8c2e1aa7f182c4e06c01c7ce38b60f9bcb)
