פיזיקה תיכונית/מבוא לפיזיקה/וקטורים

קטע זה מסביר מהם וקטורים בכלל למי שעדיין לא מכיר. אם הנושא מוכר לכם, אתם יכולים לדלג לפרק הבא.

הגדרת הוקטור

על הארגז בתמונה פועל כוח בגודל של 10 ניוטון (יחידת מידה של כוח) וכיוונו הוא עם כיוון ציר ה-x

בטבע ישנם גורמים מסויימים אשר ניתן לתאר אותם באופן כמותי בלבד כמו טמפרטורה,מסה ונפח. גדלים אלו נקראים סקלרים ואלו גדלים חסרי כיוון.

בניגוד לסקלרים שמבוטאים אך ורק ע"י גודל ישנם גורמים נוספים בפיזיקה אשר כיוון הפעולה שלהם חשוב לנו גם כן, דוגמא לכך היא מהירות [velocity ולא speed]. מהירות היא גורם בעל גודל מסויים וכיוון. לגורמים מסוג זה נקרא וקטורים.

דוגמא: נדמיין אדם רץ במהירות 20 קמ"ש לכיוון מערב.

דוגמא במקרה הזה לוקטור הוא וקטור המהירות. האדם רץ במהירות של 20 קמ"ש (גודל) וכיוונו הוא מערבה (כיוון)

דוגמא לסקלר במקרה הזה הוא מסת האצן שלה אין כיוון, או נפח הריאות שלו שגם כן אין לו כיוון.

סימון הוקטור

כפי שהגדרנו הוקטור הוא גודל מכוון, לכן בפיזיקה נהוג לשרטט אותו כך:

כך משרטטים וקטור, כיוונו ככיוון החץ (מ-A ל-B), נקודת האחיזה או המוצא היא A וגודלו כאורך החץ, פירוט בהסבר.

הוקטור משורטט כחץ ובשפה המתמטית רושמים ${\vec {a}}$ או ${\overrightarrow {AB}}$ (החץ מעל האות/אותיות מדגיש שלא מדובר בגודל "רגיל" - סקלר, אלא בוקטור). חשוב לציין שאורך החץ מסמל את גודל הוקטור (אורך הוקטור גם נקרא הערך המוחלט). אם לדוגמא אורך החץ בתמונה הוא שלושה סנטימטרים וכל סנטימטר בתמונה מייצג שני קמ"ש במציאות, הרי שגודל הוקטור ${\vec {a}}$ הוא 6 קמ"ש:

$|{\vec {a}}|=6{\frac {km}{h}}$ או $a=6{\frac {km}{h}}$ ללא החץ.

כיוון הוקטור הוא ככיוון החץ (במקרה של התמונה נוכל לומר מ-A ל-B או כיוון "צפון מזרח, נוטה יותר לכיוון מזרח"- אם נגדיר שלמעלה הוא כיוון צפון. הגדרת הכיוון הזו היא לא מדוייקת ובהמשך נלמד לכמת אותה).

פעולות בין וקטורים

בפרק זה נלמד על הוקטורים במישור המתמטי (עד עכשיו למדנו את ההגדרה וההסבר האיכותי), נלמד כיצד ניתן לעשות פעולות מתמטיות בין מספר וקטורים וכיצד כל הנושא מתקשר לפיזיקה.

שוויון וקטורים

כפי שאמרנו לא די בגודל כדי לתאר וקטור אלא גם בכיוון. נתבונן בשרטוט:

נתונים שני וקטורים, ${\vec {a}}$ ו- ${\vec {b}}$ . אורכו של כל אחד 5 ס"מ.

האם הוקטורים שווים? בתמונה מתקיים

$|{\vec {a}}|=|{\vec {b}}|=5cm$

אולם אלו רק הגדלים של הוקטורים ששווים. הכיוונים לא שווים (ניתן לראות זאת בתמונה) ולכן הוקטורים לא שווים:

${\vec {a}}\neq {\vec {b}}$

אם כך, מתי ניתן לומר על שני וקטורים שהם שווים זה לזה? שני וקטורים שווים זה לזה אם מתקיימים שני תנאים:

• הגדלים שלהם שווים
• יש להם את אותו כיוון. זה קורה אם אחד התנאים הבאים מתקיים:

1. הוקטורים אינם על אותו הישר והם מצביעים לאותו כיוון. מבחינה גאומטרית, הם רוכבים על ישרים מקבילים ומצבעים לאותו כיוון
2. הוקטורים נמצאים על אותו ישר והם מצביעים לאותו כיוון על הישר
3. הוקטורים מתלכדים - כלומר הם אותו הוקטור

בתמונה השנייה- שני וקטורים שווים.

הוקטורים בתמונה שווים כי הם צלעות נגדיות של מקבילית, כלומר מקבילים, שווים באורך ומצביעים לאותו כיוון.

חיבור וחיסור וקטורים

חיבור וקטורים

חיבור על פי כלל המשולש: אם יש לי שני וקטורים a ו- b ואני רוצה לחבר ביניהם אני מזיז אותם תוך כדי שאני שומר על גודל והטייתם המקורית עד שזנב אחד נוגע בראש השני. הוקטור השקול (סכום הווקטורים) מוגדר כווקטור שמתחיל מזנב הראשון ומסתיים בראש השני(בשרטוט, הווקטור הירוק).

א ב ג

הערה: זה לא משנה איזה מהוקטורים אני שם ראשון או בצורה מתמטית: a+b=b+a (חוק החילוף)

חיסור וקטורים

נגדיר קודם מה זה וקטור נגדי: הוקטור הנגדי לוקטור b זה ווקטור שזהה בגודלו אבל הפוך בכיוונו ומסומן b-

חיסור בין ווקטורים מוגדר כחיבור בין ווקטור לנגדי של המחסר או בצורה מתמטית: (a-b=a+(-b

א ב

חיבור וקטורים תלויים לינארית

אם ישנם כמה ווקטורים תלויים לניארית (כלומר כולם רוכבים על אותו ישר) החיבור ביניהם מתבצע בדרך זו: נגדיר צד אחד כחיובי ואז כל ווקטור בפונה לכיוון זה יהיה חיובי וכל וקטור הפונה לצד השני יהיה שלילי. כעת נחבר חיבור אלגברי פשוט. אם התוצאה חיובית הווקטור השקול פונה לכיון שהוגדר כחיובי ואם התוצאה שלילית הוא יפנה לכיון ההפוך (כמובן שבשני המקרים הווקטור עדיין ירכב על הישר).

א ב

הקדמה גאומטרית וטריגונומטרית

הקדמה גאומטרית:

משולש ישר זווית זהו משולש שאחד מזוויותיו שווה ל 90 מעלות (הזווית הישרה מסומנת בריבוע קטן במשולש). שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה נקראות ניצבים והצלע הנותרת נקראת יתר.

משפט פיתגורס:
סכום היתר בריבוע שווה לסכום ריבועי הניצבים, או בצורה מתמטית: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

משתמשים במשפט זה הרבה כך שכדאי לזכור אתו בעל פה.

הקדמה טריגונומטרית:

טריגונומטריה היא ענף מתמטי שעוסק בין השאר ביחסים בין צלעות המשולש לזוויותיו.

במשולש ישר זווית מתקיימים היחסים הבאים:
$\sin(\alpha )={\frac {a}{c}}$ - כלומר סינוס (sin) הזוית שווה לצלע הרחוקה מהזווית חלקי היתר.

$\cos(\alpha )={\frac {b}{c}}$ - כלומר קוסינוס (cos) הזוית שווה לצלע הקרובה לזווית חלקי היתר.

$\tan(\alpha )={\frac {a}{b}}$ - כלומר טאנגנס (tan ולפעמים נכתב tg) הזוית שווה לצלע הרחוקה מהזווית חלקי הצלע הקרובה אליה.

כמו כן אם ידוע רק גודל הצלעות, הזווית יכולה להתגלות ע"י היחסים הבאים:

${\begin{aligned}\alpha &=\arcsin \left({\frac {a}{c}}\right)\\\alpha &=\arccos \left({\frac {b}{c}}\right)\\\alpha &=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)\end{aligned}}$ sin=מול חלקי היתר cos=ליד חלקי היתר tan=מול חלקי ליד

$\arcsin =\sin ^{-1}$ במחשבון ע"י לחיצה על כפתור shift ואז על sin וכך גם בכולם.

ונדגים:

$a=5\ ,\ b={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ ,\ c=10\ ,\ \alpha =30^{\circ }$

נמצא את הערך המספרי של סינוס אלפא: $\sin(\alpha )=\sin(30^{\circ })=0.5$ , נמצא את היחס בין הצלע הרחוקה (a) ליתר (c): ${\frac {a}{c}}={\frac {5}{10}}=0.5$ , רואים שהיחס $\sin(\alpha )={\frac {a}{c}}$ מתקיים.

היחס בין הצלעות a ו-b שווה:

${\frac {a}{b}}={\frac {5}{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

(shift+tan) של יחס זה:

$\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)=\arctan \left({\frac {5}{\frac {\sqrt {3}}{2}}}\right)=30^{\circ }$

רואים שהתוצאה שווה לזוית $\alpha$ כך שהיחס $\alpha =\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)$ מתקיים.

פירוק וקטור לרכיבים קרטזיים

נציב וקטור כלשהו במערכת צירים כך שתחילתו נמצאת בראשית הצירים.

[[תמונה: ]]

אפשר להתייחס לוקטור זה כסכום של שני וקטורים שרוכבים על הצירים

${\vec {w}}={\vec {u}}+{\vec {v}}$ בשרטוט

למעשה כל וקטור (דו-ממדי) יכול להיות מובע - באופן יחיד - כסכום שני וקטורים מסוימים הרוכבים על הצירים.

[[תמונה: ]]

$u,v$ נקראים הרכיבים הקרטזים של הוקטור ${\vec {w}}$ :

${\begin{aligned}u&=w_{x}\\v&=w_{y}\end{aligned}}$

הוקטור ביחד עם רכיביו יוצר משולש ישר-זוית, ולכן לפי המשוואות הטריגונומטריות, במקרה הנדון:

${\begin{aligned}w\cdot \sin(\alpha )=w_{y}=v\\w\cdot \cos(\alpha )=w_{x}=u\end{aligned}}$

לסיכום: אם אנו יודעים את הזווית בין הווקטור לאחד מהצירים אפשר לדעת מה ערך הרכיבים הקרטזיים של הוקטור ע"י המשוואות הטריגונומטריות.

הוקטור השקול

על-מנת למצוא את הוקטור השקול של כמה וקטורים שנתון גודלם והזוית בינם לאחד הצירים, נפעל בדרך הבאה:

1. נפרק כל וקטור לרכיביו הקרטזיים.

2. נחבר בכל ציר בנפרד את הוקטורים שעליו לפי כללי חיבור וקטורים לינארים.

3. שתי הוקטורים שקיבלנו מהסעיף הקודם הם הרכיבים הקרטזים של הוקטור השקול ולכן נשתמש בנוסחא $\alpha =\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)$ בשביל למצוא את הזוית בין הוקטור לאחד מן הצירים.

4. נמצא את גודל הוקטור השקול ע"י שימוש במשפט פיתגורס:

$|{\vec {v}}|^{2}=|{\vec {v}}_{x}|^{2}+|{\vec {v}}_{y}|^{2}$ , כאשר ${\vec {v}}$ הוקטור השקול.

וקטורי יחידה

וקטור יחידה של ${\vec {A}}$ הוא וקטור שאורכו יחידה אחת וכיוונו הוא אותו הכיוון של הוקטור (כלומר, הוא יוצר אותן זוויות עם הצירים). בדרך-כלל מסומן בכובע (${\hat {A}}$). את גודל וקטור היחידה ניתן למצוא בעזרת חילוק הוקטור בגודלו, כלומר

${\hat {A}}={\frac {\vec {A}}{|{\vec {A}}|}}$

לדוגמא, אם נתון הוקטור ${\vec {B}}={\binom {3}{4}}$ ועלינו למצוא את וקטור היחידה שלו נשתמש בנוסחה שצוינה לעיל: ${\hat {B}}=\left({\frac {3}{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}},{\frac {4}{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}}\right)=\left({\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}}\right)$ , וזהו וקטור היחידה.

הפרק הקודם: מבוא לפיזיקה

וקטורים תרגילים

הפרק הבא: יחידות מדידה