פיזיקה תיכונית/מכניקה/התנע ושימורו

כמו שהגדרנו את האנרגיה כך אנו מגדירים עוד שני גדלים: מתקף ותנע. גדלים אלו עוזרים בעיקר בבעיות התנגשות ופיצוץ.

הגדרת התנע והמתקף

תנע המסומן ${\vec {p}}$ מוגדר על-ידי ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$ כאשר $m$ מסת הגוף ו-$v$ מהירותו.

מתקף המסומן ${\vec {J}}$ מוגדר כאינטגרל הכוח השקול לפי הזמן, כלומר: ${\vec {J}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}\,dt$ . אם הכוח קבוע מתקיים:

${\vec {J}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}\,dt={\vec {F}}(t_{2}-t_{1})={\vec {F}}\cdot \Delta t$

ניתן להגדיר את המתקף גם כשינוי בתנע:

${\vec {J}}={\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1}=\Delta {\vec {p}}$

הוכחה

${\vec {J}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}\,dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}m{\vec {a}}\,dt=m\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {a}}\,dt=m({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1})={\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1}=\Delta {\vec {p}}$

• מתקף ותנע הם גדלים וקטוריים.
• יחידות המתקף הן ניוטון שניה $N\cdot s$ ויחידות התנע הן ק"ג כפול מטר לשנייה $kg\cdot {\frac {m}{s}}$ יחידות אלו שוות זו לזו $N\cdot s=\left(kg\cdot {\frac {m}{s^{2}}}\right)\cdot s=kg\cdot {\frac {m}{s}}$ .
• מתקף כולל שווה לסכום המתקפים הפועלים על הגוף באותו פרק זמן או המתקף שמפעיל הכוח השקול.
• התנע הכולל שווה לסכום (וקטורי) של התנעים:

${\vec {p}}={\vec {p}}_{1}+\cdots +{\vec {p}}_{n}$

שימור תנע

• בדרך-כלל את המהירות של הגופים לפני ההתנגשות (או הפיצוץ) אנו מסמנים ${\vec {v}}$ ואת המהירות לאחר ההתנגשות מסמנים ${\vec {u}}$ .

חוק שימור התנע קובע כי במערכת סגורה (כלומר מערכת שבה לא פועלים כוחות חיצוניים) התנע הכולל נשמר.

נוכיח את חוק שימור התנע בשני גופים: נקח לדוגמא שני גופים 1 ו-2 אם הם מתנגשים אנו יודעים לפי החוק השלישי של ניוטון שהכוח שהפעיל 1 על 2 שווה והפוך מהכוח שהפעיל 2 על 1.

${\vec {F}}_{1}=-{\vec {F}}_{2}$

נכפיל בזמן שבו ההתנגשות קרתה ונקבל את המתקף:

${\vec {F}}_{1}\Delta t=-{\vec {F}}_{2}\Delta t$

המתקף הרי שווה לשינוי בתנע ולכן:

$\Delta {\vec {p}}_{1}=-\Delta {\vec {p}}_{2}$

נפתח את המשוואה ונקבל:

${\begin{aligned}m_{1}{\vec {u}}_{1}-m_{1}{\vec {v}}_{1}&=-(m_{2}{\vec {u}}_{2}-m_{2}{\vec {v}}_{2})\\\\m_{1}{\vec {u}}_{1}-m_{1}{\vec {v}}_{1}&=m_{2}{\vec {v}}_{2}-m_{2}{\vec {u}}_{2}\\\\m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}&=m_{1}{\vec {u}}_{1}+m_{2}{\vec {u}}_{2}\end{aligned}}$

רואים שהתנע הכולל לפני ההתנגשות ואחריה שווה זה לזה כלומר התנע נשמר.

• חוק שימור התנע הוא חוק וקטורי כלומר וקטור התנע נשמר.
• התנגשות חד-ממדית זוהי התנגשות שהגופים לפני ההתנגשות ולאחריה נעים על קו ישר אחד (התנגשות כזו נקראת גם התנגשות מצח), והתנגשות דו-ממדית כשהגופים נעים על פני מישור אחד.
• בהתנגשות דו-ממדית נפרק את התנע לשני צירים קרטזיים, התנע נשמר בכל ציר ולכן ניצור שתי משוואות אלגבריות שמתארות כל ציר,

ציר $x$ :‏ $m{\vec {v}}_{1x}+m{\vec {v}}_{2x}=m{\vec {u}}_{1x}+m{\vec {u}}_{2x}$

ציר $y$ :‏ $m{\vec {v}}_{1y}+m{\vec {v}}_{2y}=m{\vec {u}}_{1y}+m{\vec {u}}_{2y}$

יש לסמן את המהירות (אם היא חיובית או שלילית) ביחס למיקומה לציר שנקבע.

• בהתנגשות חד-ממדית מספיק ליצור רק משוואה אחת.
• התנע נשמר גם אם מדובר במערכת מרובת גופים ולא רק שני גופים.

סוגי התנגשויות

הפיזיקה מבחינה בין מספר סוגי התנגשויות. שלושה מקרה נפוצים הם:

• פלסטית - יש שימור תנע, אין שימור אנרגיה. שני הגופים המתנגשים מתחברים לגוף אחד, בתהליך זה נוצר חום, לכן אין שימור אנרגיה, יש לשים לב שמאחר ושני הגופים התחברו נוסחת שימור התנע יכולה להיראות כך:

$m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\vec {u}}$

• אלסטית - יש שימור תנע, יש שימור אנרגיה. הגופים ממשיכים לנוע בנפרד כשני גופים שונים לאחר ההתנגשות.

נפתח מבחינה מתמטית את ההתנגשות האלסטית:

האנרגיה נשמרת ולכן:

${\tfrac {1}{2}}m_{1}{v_{1}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}{v_{2}}^{2}={\tfrac {1}{2}}m_{1}{u_{1}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}{u_{2}}^{2}$

התנע נשמר ולכן:

$m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}=m_{1}{\vec {u}}_{1}+m_{2}{\vec {u}}_{2}$

נסדר את משוואת התנע:

$m_{1}({\vec {v}}_{1}-{\vec {u}}_{1})=m_{2}({\vec {u}}_{2}-{\vec {v}}_{2})$

נכפיל ב-2 ונסדר את משוואת האנרגיה:

$m_{1}({v_{1}}^{2}-{u_{1}}^{2})=m_{2}({u_{2}}^{2}-{v_{2}}^{2})$

על-פי השוויון $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ נפתח את משוואת האנרגיה:

$m_{1}(v_{1}-u_{1})(v_{1}+u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})(u_{2}+v_{2})$

נחלק את משוואת האנרגיה במשוואת התנע ונקבל:

$v_{1}+u_{1}=u_{2}+v_{2}$

נסדר:

$v_{1}-v_{2}=-(u_{1}-u_{2})$

הגדלים ${\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}\,,\,{\vec {u}}_{1}-{\vec {u}}_{2}$ הם בעצם המהירות היחסית ולכן מה שיוצא מהמשוואה לעיל זה שהמהירות היחסית בהתנגשות אלסטית מתהפכת אבל הגודל שלה נשמר מה שאומר שגודל מהירות ההתקרבות לפני ההתנגשות שווה לגודל ההתרחקות לאחריה.

• אי-אלסטית - יש שימור תנע, אין שימור אנרגיה, שני הגופים ממשיכים בנפרד אבל יש איבוד אנרגיה (האנרגיה האבודה יכולה להיות מומרת לאנרגיית חום, אור, קול וכדומה).

הפרק הקודם: עבודה ואנרגיה

התנע ושימורו תרגילים

הפרק הבא: כבידה