פיזיקה תיכונית/מכניקה/כבידה

היסטוריית תאוריית מערכת השמש וכח הכבידה

לפני למידת היישום של כבידה ניוטונית, נפתח בתיאוריה הכללית של מערכת הייקום, ואחר כך נראה את פיתוח התאוריה של כח הכבידה.

המודל הגאוצנטרי (בלעז: Geocentric Model)

אריסטו (יוונית: Αριστοτέλης) – פילוסוף יווני – האמין שהיקום בנוי בצורת המודל הגאוצנטרי (בלעז: The] Geocentric Model]).

במודל זה, כדור הארץ באמצעו של המערכת (היקום) – וכל הכוכבים נעים סביבו, כאשר כדור הארץ במנוחה. אמונה זו, הייתה נוחה לכנסיה, שכן דבר זה מבליט את חשיבות האדם, והעולם (דהיינו, כדור הארץ), שהאדם חי בו. אמונתו זו של אריסטו [ – שכדור הארץ הוא מרכז היקום] הם מסיבות מִיסְטִיות. אריסטו גם האמין שהתנועה המעגלית – היא הכי מושלמת.

לפני שנמשיך, יש להבין קודם כל מה הבחינו היוונים בשמים. בשמים רואים כי ישנם כוכבים רבים הנעים ומשנים מקומם בשמים כל לילה. אולם – כולם נעים בצורה יחסית אחד לשני, דהיינו שכולם נעו ביחד, כך שאין הבדל בין המרחקים בין הכוכבים אחרי תנועתם. והם גם ראו – חמישה אורות (לא כולל את הירח), שבאו מכוכבים כמובן, שלא עשו כן. אורות אלו נעו בצורה רגילה ממזרח למערב – ואחר כך חזרו לאחור. להללו הם קראו "פלנט" (באנגלית: planet, מהמילה היוונית "נודד"). חמישה כוכבי לכת הללו, הם:

1. כוכב חמה (בלעז: Mercury)
2. נוגה (בלעז: Venus)
3. מאדים (בלעז: Mars)
4. צדק (בלעז: Jupiter)
5. שבתאי (בלעז: Saturn)

תלמי [יוונית: Κλαύδιος Πτολεμαῖος - כלאודיוס פתולמאיוס] (בלעז: Ptolemy) בנה למחשבה ותיאוריה זו מודל הכולל את כל היקום. במודל שלו, כדור הארץ באמצע במנוחה, ושמונה סְפֶרות (שאול מאנגלית: sphere, שפירושו: כדור) המסתובבות סביב כדור הארץ. כל סְפֶרה היא קטנה מזו שלאחריה, כך שזה כמו שכבות. מה שמחוץ לסְפֶרה האחרונה הוא לא ברור כל כך. מחוץ לגבול של הסְפֶרה האחרונה, ישנה גם ספרה שבה כוכבים רבים אשר קבועים במקומם, כך שכאשר הספרה מסתובבת – מסתובבים כל הכוכבים כולם אחד ביחס לשני, כך שהמרחקים בין מיקומם של הכוכבים אחד ביחס לשני לא השתנה (דהיינו, הם נעו יחד).

הספרות הפנימיות המסתובבות נשאו את כוכבי הלכת. כוכבי הלכת הללו לא היו קבועים במקומם, אלא הם נעו גם הם בסיבובים קטנים יותר – מעגלים משניים, שלא היו קשורים לסיבובי הספרות – המעגלים הראשיים. יוצא שכוכבי הלכת נעו בצורה מסובכת הרבה יותר מסיבובים מעגליים פשוטים בשמים. המודל של תלמי "ניבא" את מיקום הכוכבים בזמנים שונים בצורה די נכונה. חיסרון שהיה ידוע לתלמי במודל הגאוצנטרי, הוא שלפי מודל זה, אמור הירח לנוע במסלול כך שהירח קרוב לכדור הארץ פי שניים מאשר בזמנים אחרים (נקודות אחרות במסלולו). המודל של תלמי נאמצה על-ידי הכנסייה הקתולית, בשל ההבלטה של האדם וחשיבותו (בשל כדור הארץ במרכז היקום). היא החזיקה זמן רב, כ-1400 שנה.

המודל ההליוצנטרי (בלעז: Heliocentric Model)

אולם למודל הזה נעשה מתחרה – המודל ההֶלְיוֹצֶנְטְרִי (בלעז: The] Heliocentric Model]).

בשנת 1514 פרסם הכומר הפולני ניקולאס קופרניקוס (בלעז: Nicholas Copernicus), את הצעת המודל ההֶליוצנטרי [בתחילה פרסם קופרניקוס את ההצעת בצורה אנונימית (בעילום שם). כנראה מפחד הכנסיה]. במודל זה, המודל בו אנו מאמינים היום – כדור הארץ אינו יותר במרכז. השמש במרכז המערכת, וכל כוכבי הלכת נעים סביבה כולל כדור הארץ. גם לאחר שנים רבות, לא קיבלה הכנסיה הקתולית את המודל, בשל פגיעה במרכזיות האדם וכדור הארץ. סיבה נוספת להתעכבות בקבלת מודל זה (שהיום ברור לכולם שהוא הנכון בודאות), הוא בשל החוסר במדע, ואם כן – ביכולת להוכיח את המודל.

האסטרונום האיטלקי גלילאו גאלילי (בלעז: Galileo Galilei), חיזק את המודל ההליוצנטרי. ב-1609 הוא תצפת בשמים בטלסקופ שרק אז המציא. בתצפיתו, הוא גילה כי לכוכב הלכת צדק ישנם כמה ירחים המסתובבים סביבו. גילוי ירחי צדק הוא הוכחה חזקה למודל ההליוצנטרי, כי המודל ההליוצנטרי טוען כי הדבר איננו חובה שכל גרמי השמים ינועו סביב כדור הארץ – בניגוד למה שחשבו תלמי ואריסטו.

טיכו בראהה (בלעז: Tyco Brahe) ערך תצפיות בכוכבים ואסף נתונים רבים על מסלולם בשמיים. תלמידו יוהאן קפלר (בלעז: Johannes Kepler) – אסטרונום גרמני – ניתח את הנתונים, וקבע על-פיהם שלושה חוקים, הידועים לנו כ'שלושת חוקי קפלר'. אולם, רק בחוק השלישי אנו נשתמש במשוואות בצורה פרקטית.

חוקי קפלר

לפני שנלמד על חוקי קפלר נקדים הקדמה גאומטרית קצרה על אליפסה. יוצרים אליפסה ע"י הצמדת קצוות חוט לשתי נקודות ועם עפרון שמותח את החוט נשרטט צורה סגורה.

הנקודות שהצמדנו את החוט נקראות מוקדי האליפסה, הקו שחוצה את האליפסה ואת שתי המוקדים נקרא הציר הגדול וחצי ממנו נקרא הרדיוס הממוצע של האליפסה.

חוקי קפלר

החוק הראשון: כוכבי הלכת נעים במסלולים אליפטיים והשמש נמצאת באחד המוקדים של המסלול.

החוק השני: במרווחי זמן שווים השטח הכלוא בין מיקומי הכוכב לשמש נשאר זהה (תמונה).

דבר זה אפשרי בגלל שהמהירות של הכוכב לאורך מסלולו משתנה, כשהמהירות הגדולה ביותר היא כשהוא בקצה האליפסה הקרוב לשמש (פריהליון) ומאז מאט עד שהמהירות הנמוכה ביותר במסלול היא בנקודה הרחוקה מהשמש (אפהליון) ואז מאיץ עד שמגיע לפריהליון וחוזר חלילה.

החוק השלישי: הקשר $T^{2}=Ka^{3}$ מתקיים כאשר $T$ זמן המחזור של הכוכב (הזמן שלוקח לכוכב להשלים הקפה), $a$ הרדיוס הממוצע של מסלול הכוכב סביב השמש, $K$ קבוע ששווה בכל כוכבי הלכת במערכת השמש, ישנה עוד דרך להציג את החוק השלישי $\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{2}=\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{3}$ כשהמספרים התחתיים מייצגים כוכבי לכת שונים.

כבידה ניוטונית

הערה: בפרק המכניקה נעסוק בכבידה ניוטונית בלבד. כבידה יחסותית אינה בתחום עיסוק ספר זה.

כוח הכבידה (לפי המכניקה הקלאסית) הנו כוח משיכה בין מסות. הבנת כוח זה מיוחסת בראש ובראשונה לניוטון אך התפתחויות חשובות באסטרונומיה שנעשו על-ידי קופרניקוס, טיכו בראהה, יוהנס קפלר וכמובן גלילאו היוו את הבסיס להבנת הכוח הזה.

תכונות הכבידה

ירידה בריבוע המרחק

כוח הכבידה הנו כוח משיכה אשר פועל בין כל שתי מסות ביקום. זהו כוח אשר בדומה לכוחות אחרים בטבע, כמו למשל חוק קולון אשר עליו תלמדו בפרק חשמל, הוא כוח שעצמתו יורדת בריבוע המרחק. משמעות אמירה זו היא שאם נמדוד את הכוח שמפעילה מסה נקודתית על מסה נקודתית אחרת אשר נמצאות במרחק של $r$ אחת מהשניה ולאחר מכן נזיז את אחת המסות למרחק של $R$ , הכוח יקטן פי $(R-r)^{2}$ . בכתיבה מתמטית זה יכתב כך:

${\vec {F_{g}}}\sim {\frac {1}{R^{2}}}$

כאשר $R$ הוא המרחק בין שתי מסות נקודתיות (כזכור, הסימון $\sim$ מסמן שקיימת פרופורציה בין שני האגפים).

פרופורציוני למכפלת המסות

תכונה נוספת של הכבידה הניוטונית היא שעצמתה פרופוציונית למכפלת המסות. במילים אחרות, אם נכפיל את אחת המסות (הנקודתיות), הכוח יוכפל אף הוא. באופן מתמטי:

${\vec {F_{g}}}\sim m_{1}\cdot m_{2}$

אינטואיטיבית, תכונה זו של הכבידה היא פשוטה להבנה. הרי מנסיון החיים שלנו ברור לנו שמסות קטנות כמו מכוניות ובני-אדם למשל, אינן נמשכות אחת לשניה בכוח כבידה שאנו מסוגלים לחוש. מצד שני, ברור גם שמסות כאלו נמשכות די חזק לאדמה (שהיא מסה גדולה יחסית אלינו). מכאן אנו יכולים להבין שכוח הכבידה גדל ככל שהמסה גדלה.
ברור, אם כן, שהכוח קטן בריבוע המרחק מחד ופרופורציוני למכפלת המסות מאידך. מכאן ברור שהכוח חייב לקיים את היחס הבא:

${\vec {F_{g}}}\sim {\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{R^{2}}}$

מכאן (לפי ההגדרה) ברור שקיים קבוע כלשהו (נסמנו ב- $G$) שמקיים:

${\vec {F_{g}}}=G{\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{R^{2}}}$

הקבוע $G$ נקרא קבוע הכבידה העולמי. גודלו נמדד לראשונה על-ידי הנרי קאוונדיש ב-1798. ניסוי קוונדיש מדד ישירות את הקבוע הגרוויטציוני בניסוי שבו הצליח קאוונדיש למדוד את עצמת המשיכה שמפעילים שני גופים. גודלו של הקבוע מוערך כיום כ:

$G=6.67428\cdot 10^{-11}{\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}}$

מסות לא נקודתיות

לעיתים קרובות קירוב גוף כמסה נקודתית אינו נכון. במקרים כאלו עלינו להתייחס למסה כמסה בעלת צורה. אנו לא נעסוק במקרים אלו, אך נציין לקורא המתעניין שהדרך לחישוב כוח המשיכה בין מסות שאינן נקודתיות משתמשת בחוק גאוס. ללא הוכחה מתמטית לכך נאמר רק שמסות כדוריות סימטריות מתנהגות כמסות נקודתיות בעלות אותה המסה.

דוגמא - הערכת מסת כדור הארץ

על-מנת להעריך את גודל מסת כדור הארץ, עלינו ראשית לדעת את רדיוסו (או הקפו).
הקפו נמדד לראשונה על-ידי ארטוסתנס במאה ה-3 לפני הספירה. כאנקדוטה נספר על הדרך הפשוטה להפליא שבה מדד ארטוסתנס את הקף כדור הארץ התבססה על העובדה שהיתה ידועה לו שביום הארוך ביותר בקיץ באזור אסוואן שבמצרים בצהריים עומדת השמש במרכז השמים כמעט בדיוק. ביום הזה אין צל בבארות ועמודים לא מטילים צל. לעומת זאת, במקום מושבו של ארטוסתנס באלכסנדריה, באותה השעה ואותו היום, עמודים כן מטילים צל. הוא מדד את היחס בין אורך הצל באלכסנדריה לגובה העמוד ומתוך יחס זה מצא את הזווית שהשמש נמצאת בשמים. לאחר מכן, הוא שכר אדם אשר ילך עד לאסואן (שנמצאת בקירוב בקו ישר דרומה) ויספור את צעדי הגמל שלו. מתוך מדידות אלו חישב ארטוסתנס את הקף כדור הארץ (אם כי ביחידות של צעדי גמל) בדיוק מרשים.

כיום מוגדר הקף כדור הארץ כ- $40,075.78\ km$ בערך. מכאן רדיוס כדור הארץ מקיים:

$2\pi R_{e}=40,075.78\cdot 10^{6}\ m\implies R_{e}\approx 6378.258\ km$

הערה: למרות שמו, כדור הארץ איננו כדור באמת. צורתו דומה לאליפסואיד אך מידת ה"פחיסות" שלו אינה גדולה, אנו נניח שהקירוב להקף כדור הארץ הוא נכון.

נמשיך בחישוב מסת כדור הארץ. נתבונן בכוח שמופעל על מסת בוחן בת ק"ג - נסמן מסה זו ב- $m=1kg$ . על פי חוק הכבידה של ניוטון:

${\vec {F_{g}}}=G{\frac {m\cdot M_{e}}{{R_{e}}^{2}}}$

ידוע לנו שהכוח שמופעל על מסת הבוחן שלנו הוא

${\vec {F_{g}}}=m{\vec {g}}$

נציב ונקבל:

$m{\vec {g}}=G{\frac {m\cdot M_{e}}{{R_{e}}^{2}}}$

נצמצם ונקבל:

${\vec {g}}=G{\frac {M_{e}}{{R_{e}}^{2}}}$

נבודד את מסת כדור הארץ ונקבל:

${\frac {{\vec {g}}\cdot {R_{e}}^{2}}{G}}=M_{e}$

נציב ב- ${\vec {g}}$ את הערך הידוע של $9.8{\frac {m}{s^{2}}}$ ואת שאר הערכים הידועים שלנו ונקבל את מסת כדור הארץ:

$M_{e}\approx {5.955\cdot 10^{24}}\ kg$

תוצאה זו אינה מדויקת לחלוטין - כמו בכל מדידה בפיזיקה, ישנו מרווח טעות שנובע משגיאות מדידה או מהנחות יסוד של קירוב. למשל, הקירוב שעשינו כשאמרנו שכדור הארץ עגול, או הקירוב שכוח המשיכה הוא בדיוק $9.8{\frac {m}{s^{2}}}$ , וכו'. כל אחד מאלה יכולים להוסיף מרווח טעות קטן לחישוב.
בפיזיקה נסיונית מחשבים את מרווחי השגיאה הללו וכך ניתן לדעת עד כמה החישובים שלנו שגויים. חשוב לציין שאין זה אומר שהפיזיקה איננה מדע מדויק. הדיוק מתבטא כאן בכך שיש לנו כלים למדוד עד כמה שגינו וכך אנו יכולים לנבא מראש עד כמה המדידה הבאה תהיה שגויה.
המדידה המקובלת היום, שמתבססת על מדידות טובות בהרבה מאלו שניצלנו כאן היא שמסת כדור הארץ היא

$M_{e}\approx {5.9736\cdot 10^{24}}\ kg$

החישוב שלנו שגוי ב-0.4% לכל היותר מהחישוב המקובל.

הפרק הקודם: התנע ושימורו

כבידה תרגילים

הפרק הבא: תנועה הרמונית