למערכת מסדר שני, כלומר n=2, יש שני קטבים, ונהוג להציג את התמסורת בצורה:
R - כניסה; C - יציאה.
G
(
s
)
=
A
s
+
B
s
2
+
2
ζ
ω
n
s
+
ω
n
2
{\displaystyle \ G(s)={\frac {As+B}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}}
כאשר ζ היא ריסון המערכת ו-ωn היא התדירות הטבעית, אך על כך בהמשך[ 1] .
קטבי המערכת:
s
1
,
2
=
−
ζ
ω
n
±
ζ
2
ω
n
2
−
ω
n
2
=
−
ω
n
(
ζ
±
ζ
2
−
1
)
{\displaystyle \ s_{1,2}=-\zeta \omega _{n}\pm {\sqrt {\zeta ^{2}\omega _{n}^{2}-\omega _{n}^{2}}}=-\omega _{n}\left(\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)}
התקבל איפוא שהפרמטר ζ משפיע על מיקום קטבי המערכת (למעשה זאת הסיבה לכך שנבחרה צורת הסימון הזו). נבחין בין כמה מקרים:
ζ
2
>
1
_
{\displaystyle \ {\underline {\zeta ^{2}>1}}}
:
במקרה זה, שני השורשים הם ממשיים שליליים.
עבור
ζ
2
≫
1
{\displaystyle \ \zeta ^{2}\gg 1}
נקבל:
s
1
,
2
≈
−
ω
n
(
ζ
±
ζ
2
)
=
0
,
−
2
ζ
ω
n
{\displaystyle \ s_{1,2}\approx -\omega _{n}\left(\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}}}\right)=0,-2\zeta \omega _{n}}
ζ
2
=
1
_
{\displaystyle \ {\underline {\zeta ^{2}=1}}}
:
קוטב ממשי כפול:
s
1
,
2
=
−
ω
n
{\displaystyle \ s_{1,2}=-\omega _{n}}
.
0
<
ζ
2
<
1
_
{\displaystyle \ {\underline {0<\zeta ^{2}<1}}}
:
קטבים מרוכבים (יכולים להיות קטבים צמודים בלבד).
ζ
=
0
_
{\displaystyle \ {\underline {\zeta =0}}}
:
הקטבים על הציר המדומה:
s
1
,
2
=
±
j
ω
n
{\displaystyle \ s_{1,2}=\pm j\omega _{n}}
.
לכל מקרה ומקרה השפעה שונה של המערכת לתגובה חיצונית מבחינת התייצבות ודעיכת תופעות המעבר. לכן הפרמטר ζ נקרא ריסון.
כדאי לדעת:
באופן מעשי לא ניתקל בערך ריסון שלילי מכיוון שמשמעותו של ערך שלילי היא הפוכה מריסון: התבדרות (כאשר ζ<0 הקטבים יתקבלו בחצי המישור הימני - מערכת מתבדרת).
נעסוק במקרה
0
<
ζ
<
1
{\displaystyle \ 0<\zeta <1}
. לשם הצגת השורשים בצורה נוחה על המישור המרוכב, נשנה את הביטוי עבור הקטבים:
s
1
,
2
=
−
ω
n
(
ζ
±
ζ
2
−
1
)
=
−
ω
n
(
ζ
±
j
1
−
ζ
2
)
{\displaystyle \ s_{1,2}=-\omega _{n}\left(\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)=-\omega _{n}\left(\zeta \pm j{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right)}
כך שמתקבל:
Re
(
s
1
,
2
)
=
−
ω
n
ζ
,
Im
(
s
1
,
2
)
=
±
ω
n
1
−
ζ
2
{\displaystyle \ {\mbox{Re}}(s_{1,2})=-\omega _{n}\zeta \ ,\quad {\mbox{Im}}(s_{1,2})=\pm \omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}
והגודל של כל הקטבים הללו הינו:
|
s
1
,
2
|
=
ω
n
2
ζ
2
+
ω
n
2
(
1
−
ζ
2
)
=
ω
n
{\displaystyle \ |s_{1,2}|={\sqrt {\omega _{n}^{2}\zeta ^{2}+\omega _{n}^{2}(1-\zeta ^{2})}}=\omega _{n}}
כלומר כל הקטבים נמצאים על חצי מעגל ברדיוס ωn . לכן תדירות זו נקראת התדירות הטבעית (natural frequency). מאותה סיבה, אם נגדיל את ωn בעוד ש-ζ יישאר קבוע, הקטבים יתרחקו מן הראשית על אותה קרן.
נהוג לסמן:
σ
=
ζ
ω
n
{\displaystyle \ \sigma =\zeta \omega _{n}}
tan
ϕ
=
−
ζ
1
−
ζ
2
{\displaystyle \ \tan \phi =-{\zeta \over {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}
את התדירות המרוסנת (damped frequency):
ω
d
=
ω
n
1
−
ζ
2
{\displaystyle \ \omega _{d}=\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}
r
(
t
)
=
u
(
t
)
⇒
R
(
s
)
=
1
s
⇒
C
(
s
)
=
R
(
s
)
G
(
s
)
=
G
(
s
)
s
=
A
s
+
B
s
(
s
2
+
2
ζ
ω
n
s
+
ω
n
2
)
{\displaystyle \ r(t)=u(t)\ \Rightarrow \ R(s)={1 \over s}\ \Rightarrow \ C(s)=R(s)G(s)={G(s) \over s}={\frac {As+B}{s\left(s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}\right)}}}
כאשר נבצע התמרת לפלס חזרה למישור הזמן, נקבל:
c
(
t
)
=
u
(
t
)
⋅
[
A
~
+
B
~
e
−
ζ
ω
n
t
cos
(
ω
n
t
1
−
ζ
2
+
ϕ
)
]
{\displaystyle \ c(t)=u(t)\cdot \left[{\tilde {A}}+{\tilde {B}}e^{-\zeta \omega _{n}t}\cos \left(\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}+\phi \right)\right]}
=
u
(
t
)
⋅
{
A
~
+
B
~
e
−
σ
t
[
cos
(
ω
d
t
)
+
σ
ω
d
sin
(
ω
d
t
)
]
}
{\displaystyle \ =u(t)\cdot \left\{{\tilde {A}}+{\tilde {B}}e^{-\sigma t}\left[\cos(\omega _{d}t)+{\sigma \over \omega _{d}}\sin(\omega _{d}t)\right]\right\}}
כאשר:
tan
ϕ
=
−
ζ
1
−
ζ
2
{\displaystyle \ \tan \phi =-{\zeta \over {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}
כלומר התגובה היא סינוסואידלית דועכת מעריכית, ה"רוכבת" על גבי קבוע
A
~
=
B
ω
n
2
{\displaystyle \ {\tilde {A}}={B \over \omega _{n}^{2}}}
[ 2] , וככל ש-σ גדול יותר (ערך ממשי שלילי יותר של הקוטב), הדעיכה מהירה יותר.
תגובת יתר (overshoot)
עריכה
ה-overshoot הוא כינוי ל"קפיצה" הראשונה של התגובה מעל הערך של תגובת המצב המתמיד(הערך הקבוע שסביבו דועכת הסינוסואידה). ה-overshoot מסומן כ-Mp (קיצור של peak magnitude) ונמדד באחוזים מעל תגובת המצב המתמיד. קוארדינת הזמן השייכת ל-Mp מסומנת בתור tp , ומוצאים אותה על ידי גזירת תגובת המערכת במישור הזמן והשוואה לאפס (מציאת נקודת קיצון). מהביטוי הכללי לתגובת המערכת רואים כי הנגזרת תתאפס עבור:
t
n
=
π
n
ω
d
,
n
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle \ t_{n}={\pi n \over \omega _{d}},\ n=0,1,2,...}
וכי זמן המחזור הינו קבוע ושווה ל:
T
d
=
2
π
ω
d
{\displaystyle \ T_{d}={2\pi \over \omega _{d}}}
לכן תגובת היתר מקבלת את הצורה:
M
p
=
e
−
ζ
ω
n
t
p
=
exp
(
−
π
ζ
1
−
ζ
2
)
,
t
p
=
π
ω
d
{\displaystyle \ M_{p}=e^{-\zeta \omega _{n}t_{p}}=\exp {\left(-{\pi \zeta \over {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\right)}\ ,\qquad t_{p}={\pi \over \omega _{d}}}
כדאי לדעת:
ζ מכתיבה את תגובת היתר.
זמן העליה (rise time)
עריכה
זמן העליה מוגדר בתור הזמן שבו לוקח לתגובה להגיע מ-10% ל-90% של תגובת המצב המתמיד.
כדאי לדעת:
ωn מכתיבה את מהירות התגובה.
זמן ההתייצבות (settling time)
עריכה
זמן ההתייצבות מוגדר בתור הזמן שלוקח לתגובת היתר להגיע לסטייה של 2% בלבד מהמצב המתמיד. חישוב זמן ההתייצבות מתבצע על המעטפת המעריכית, כי לא קיים כלי אנליטי לפתרון מדויק:
B
~
e
−
ζ
ω
n
t
s
=
0.02
⇒
t
s
=
−
1
ζ
ω
n
ln
0.02
B
~
{\displaystyle \ {\tilde {B}}e^{-\zeta \omega _{n}t_{s}}=0.02\quad \Rightarrow \quad t_{s}=-{1 \over \zeta \omega _{n}}\ln {0.02 \over {\tilde {B}}}}
כדאי לדעת:
זמן ההתיצבות תלוי ב-ζ וב-ωn .
דקרמנט לוגריתמי (Log Decrement)
עריכה
בעזרת שיטת הדקרמנט הלוגריתמי ניתן למצוא את גודל הריסון מתוך תוצאות ניסוי על ידי חישוב ערכן של שתי מקסימות עוקבות (יחסית למצב המתמיד):
δ
=
ln
c
1
c
2
=
ln
c
(
t
p
)
−
c
s
s
c
(
t
p
+
T
d
)
−
c
s
s
=
ln
e
−
σ
t
p
e
−
σ
(
t
p
+
T
d
)
=
σ
T
d
{\displaystyle \ \delta =\ln {c_{1} \over c_{2}}=\ln {c(t_{p})-c_{ss} \over c(t_{p}+T_{d})-c_{ss}}=\ln {e^{-\sigma t_{p}} \over e^{-\sigma (t_{p}+T_{d})}}=\sigma T_{d}}
⇒
δ
=
2
π
ζ
1
−
ζ
2
⇒
ζ
=
δ
2
4
π
2
+
δ
2
{\displaystyle \ \quad \Rightarrow \quad \delta ={2\pi \zeta \over {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\qquad \Rightarrow \qquad \zeta ={\sqrt {\delta ^{2} \over 4\pi ^{2}+\delta ^{2}}}}
כאשר
c
s
s
=
A
~
=
B
ω
n
2
{\displaystyle \ c_{ss}={\tilde {A}}={B \over \omega _{n}^{2}}}
היא תגובת המצב המתמיד.
עקומי בודה למערכות מסדר שני.
ביטויים מקורבים עבור המקרה הנפוץ
A
=
0
,
B
=
ω
n
2
,
A
~
=
1
,
B
~
=
−
1
1
−
ζ
2
{\displaystyle A=0,\ B=\omega _{n}^{2},\ {\tilde {A}}=1,\ {\tilde {B}}=-{1 \over {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}
G
(
s
)
=
ω
n
2
s
2
+
2
ζ
ω
n
s
+
ω
n
2
{\displaystyle \ G(s)={\frac {\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}}
הם במקרה זה:
תגובה לכניסת מדרגה:
c
(
t
)
=
u
(
t
)
⋅
{
1
−
e
−
ζ
ω
n
t
[
cos
(
ω
d
t
)
+
σ
ω
d
sin
(
ω
d
t
)
]
}
{\displaystyle \ c(t)=u(t)\cdot \left\{1-e^{-\zeta \omega _{n}t}\left[\cos(\omega _{d}t)+{\sigma \over \omega _{d}}\sin(\omega _{d}t)\right]\right\}}
=
u
(
t
)
⋅
{
1
−
1
1
−
ζ
2
e
−
ζ
ω
n
t
[
cos
(
ω
d
t
+
ϕ
)
]
}
{\displaystyle \ =u(t)\cdot \left\{1-{1 \over {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}e^{-\zeta \omega _{n}t}\left[\cos(\omega _{d}t+\phi )\right]\right\}}
כאשר:
tan
ϕ
=
−
ζ
1
−
ζ
2
{\displaystyle \ \tan \phi =-{\zeta \over {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}
תגובת היתר: עבור מקדמי ריסון קטנים נקבל:
M
p
≈
1
−
ζ
0.6
{\displaystyle \ M_{p}\approx 1-{\zeta \over 0.6}}
זמן עלייה:
t
r
≈
1
+
1.1
ζ
+
1.4
ζ
2
ω
n
≈
0.8
+
2.5
ζ
ω
n
≈
⏞
ζ
≈
0.4
1.8
ω
n
{\displaystyle \ t_{r}\approx {1+1.1\zeta +1.4\zeta ^{2} \over \omega _{n}}\approx {0.8+2.5\zeta \over \omega _{n}}\overbrace {\approx } ^{\zeta \approx 0.4}{1.8 \over \omega _{n}}}
זמן התייצבות:
עבור מעטפת של 1%:
t
s
≈
4.6
ζ
ω
n
{\displaystyle \ t_{s}\approx {4.6 \over \zeta \omega _{n}}}
.
עבור מעטפת של 5%:
t
s
≈
3
ζ
ω
n
{\displaystyle \ t_{s}\approx {3 \over \zeta \omega _{n}}}
.
^ לעת עתה,
ζ
,
ω
n
{\displaystyle \ \zeta ,\omega _{n}}
הם רק סימונים, ומשמעותם תובהר בהמשך.
^ תנאי משפט הערך הסופי מתקיימים במקרה זה, ומתקבל:
A
~
=
lim
t
→
∞
c
(
t
)
=
lim
s
→
0
s
C
(
s
)
=
B
ω
n
2
{\displaystyle \ {\tilde {A}}=\lim _{t\to \infty }c(t)=\lim _{s\to 0}sC(s)={B \over \omega _{n}^{2}}}
.