תורת הבקרה/עקום בודה

עקומי בודה הם דרך נוחה להסתכלות על תגובת האמפליטודה ותגובת התדר של מערכת. באמצעות שימוש בתכונות הלוגריתם מפרקים את פונקצית התמסורת לסכומים והפרשים כך שניתן לצייר את התוצאה ללא קושי. בסופו של התהליך מתקבלים שני גרפים, האחד עבור הגבר המערכת והשני עבור הפאזה, כאשר שניהם תלויים בתדירות הכניסה אשר משורטטת על ציר לוגריתמי. דיאגרמת בודה (או "עקומי בודה") היא קירוב של הערכים האמיתיים. את הסטייה ניתן לחשב בנקודות אסטרטגיות. עקומי בודה נקראים "אסימפטוטיים" היות והם מייצגים ערכים אליהם שואפת התנהגותה האמיתית של המערכת. שרטוט העקומים המדוייקים ("אמיתיים") בהנתן פונקציית התמסורת המתארת את המערכת, דורש שימוש בתוכנית מחשב.

פיתוח מתמטיעריכה

נניח כי נתונה פונקצית תמסורת מהצורה:

 

על מנת לשרטט עקום בודה, יש להמיר את המבנה לצורת בודה:

 

שימו לב כי מתקיים:  . אנו מעוניינים בתגובת התדר ולכן נציב s=jω:

 

מתכונות המספרים המרוכבים נקבל:

 
 

כאשר נעבור לסקלה לוגריתמית כל המכפלות והחלוקות יהפכו לחיבורים ולחיסורים, ואז נוכל לצייר תרומה של כל איבר בנפרד על הגרף, ולבסוף לסכם. לשם כך נגדיר:

 

ואז:

 

שימו לב כי:

 ,

כך שכל מה שנשאר הוא לדעת כיצד לצייר ביטויים כמו זה האחרון.

אבחנותעריכה

קירוב אסימפטוטיעריכה

  1. עבור   מתקבל  .
  2. עבור   מתקבל  .
    כך שעל נייר חצי-לוגריתמי מקרה (2) הוא קו ישר.
  3. נתבונן במתחולל כל דקאדה בעקום הבודה:
     
    כלומר שיפוע העקום הוא  .
  4. תדירות הברך (corner frequency):
     

הגרף האמיתיעריכה

  1. ההפרש המקסימלי בין הגרף לאסימפטוטה:  .

כללים לשרטוט עקום בודה אסימפטוטיעריכה

 
עקום בודה בו מרחק האפס מהקוטב הוא דקאדה אחת.
  • מציירים בנפרד את עקום הבודה עבור כל קוטב וכל אפס (לכל קוטב או אפס מריבוי הגדול מ-1 יהיה גרף בודד, כלומר את המקרה   נשרטט על גרף בודד ולא נפרדים ל-4 גרפים שונים.
  • לאחר שכל הגרפים הנפרדים מוכנים, מאחדים אותם לגרף בודד באמצעות תכונת הלינאריות.
  • קוטב מוריד את עקום ההגבר ואת עקום הפאזה, ואילו אפס מעלה אותם.

קטבים ואפסים ממשייםעריכה

  1. שיפוע עקום ההגבר הינו אפס, עד לקוטב (או אפס) אשר גורם לשיפוע בעקום ההגבר.
  2. שיפוע עקום הפאזה הינו אפס, פרט לאזור סביב הקוטב (או האפס) המושפע ממנו. תחום ההשפעה הינו מדקאדה אחת לפני הקוטב, ועד דקאדה אחת אחרי אותו קוטב.
  3. קוטב מריבוי rp גורם לשיפוע של   בעקום ההגבר, ולשיפוע של   בעקום הפאזה.
  4. אפס מריבוי rz גורם לשיפוע של   בעקום ההגבר, ולשיפוע של   בעקום הפאזה.
  5. בכל גרף בודד כזה, עקום הפאזה הינו אנטי-סימטרי ביחס ל- , כאשר r הינו ריבוי הקוטב או האפס הנידון.

קטבים או אפסים מרוכביםעריכה

(להשלים)

מערכת Non Minimum Phaseעריכה

במידה וישנו אפס ממשי במערכת, תרומתו לעקום ההגבר תהיה רגילה בעוד תרומתו לעקום הפאזה תהיה בעלת שיפוע שלילי. (להשלים)

מטלאבעריכה

נניח כי  .יש להגדיר וקטורי פולינום של מונה ומכנה באמצעות מערך, או לחילופין להשתמש בפונקציה conv לשם "פתיחת סוגריים".

num=[0 2];
den=[1 0.4 1];
bode(num,den)
grid on;

דרך אחרתעריכה

num=[0 40];
den=conv([1 10-25*i],[1 10+25*i]);
G=tf(num,den);
bode(G)
grid on;

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

  תמונות ומדיה בוויקישיתוף: עקומי בודה