תורת הבקרה/פונקצית התמסורת

פונקצית התמסורת (Transfer Function) היא פונקציה המקשרת בין אות יציאה C לאות כניסה R במצב של תנאי התחלה אפס. הצורה הכללית של פונקצית תמסורת היא:

$\ G(s)={C(s) \over R(s)}$

והיא שימושית במעגלים לינארים וקבועים בזמן (LTI).

פיתוח מתמטי

במערכת פיזיקלית n≥ m

משיקולי הרגל, נסמן בסעיף זה את הכניסה והיציאה ב-x,y.

נניח כי המד"ר המתקיימת בין אות כניסה לאות יציאה הוא:

$\ a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}\ +\cdots +\ a_{1}{\dot {y}}+a_{0}y=b_{m}x^{(m)}+b_{m-1}x^{(m-1)}\ +\cdots +\ b_{1}{\dot {x}}+b_{0}x$

כאשר x הוא אות הכניסה ו-y הוא אות היציאה ותנאי ההתחלה הם אפס. במעבר למישור לפלס נקבל:

$\ Y(s)(a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}\ +\cdots +\ a_{1}s+a_{0})=X(s)(b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}\ +\cdots +\ b_{1}s+b_{0})$

ואז פונקצית התמסורת:

$\ G(s)={Y(s) \over X(s)}={B(s) \over A(s)}$

מסקנות

• פונקצית התמסורת אינה תלויה באות הכניסה או באות היציאה אלא תלויה במערכת בלבד.
• מחשבים את פונקצית התמסורת עבור תנאי התחלה אפס (במקרה זה אין איברים הנובעים מת"ה בהתמרת הלפלס).
• אות היציאה שווה לפונקצית התמסורת כאשר הכניסה היא פונקצית הלם.

הגדרות

• ההגבר החופשי K של מערכת בעלת פונקצית תמסורת G כתלות בתדר ω נתון על ידי:

$\ K(\omega )=|G(j\omega )|$

• הפאזה φ של מערכת בעלת פונקצית תמסורת G כתלות בתדר ω נתונה על ידי:

$\ \phi (\omega )=\arg G(j\omega )$

• מקובלים השמות:
  • proper כאשר n≥m
  • strictly proper כאשר n>m
  • biproper כאשר n=m

מערכות לינארית

הגדרת הלינאריות

פונקציה $\ y=f(x)$ נקראת לינארית אם ורק אם מתקיימים התנאים:

1. אדיטיביות: $\ f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$
2. הומוגניות: $\ k\cdot f(x)=f(k\cdot x)$

דוגמאות

• הפונקציה $\ y=ax+b$ אינה לינארית עקב האיבר החופשי b.

משפט הסופרפוזיציה

נניח כי מפעילים על מערכת אותות כניסה כלשהם, לסרוגין. משפט הסופרפוזיציה קובע כי תגובת המערכת לכל האותות האלו יחד שווה לסכום תגובת המערכת לכל אות בנפרד:

$\ f(k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2})=f(k_{1}x_{1})+f(k_{2}x_{2})$

תופעות מעבר ומצב מתמיד

פתרון של מד"ר המייצגת מערכת דינמית, מורכב מפתרון הומוגני ומפתרון פרטי: $\ x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)$.

• הפתרון ההומוגני תלוי אך ורק במערכת, ומייצג את תופעות המעבר.
• מקדמי הפתרון ההומוגני תלויים בתנאי התחלה.
• הפתרון הפרטי ומקדמיו תלויים במערכת ובאות הכניסה, אך לא תלויים בתנאי ההתחלה.
• הפתרון הפרטי מייצג את התנהגות המערכת במצב המתמיד, כאשר תופעות המעבר דועכות.
• אם אות הכניסה הוא סינוסי אז במצב מתמיד אות היציאה גם הוא יהיה סינוסי ובאותו התדר (זו למעשה תכונה של מערכת לינארית), אך ההגבר החופשי והפאזה יכולים להיות שונים.

תגובת אמפליטודה ותגובת תדר

עבור מערכת דינמית לינארית ויציבה, כאשר נכניס אות כניסה מהצורה $\ r(t)=A\sin(\omega t+\phi )$ נקבל אות יציאה מהצורה $\ c(t)=k(\omega )A\sin(\omega t+\phi +\phi _{0}(\omega ))$ כאשר:

• תגובת האמפליטודה (Magnitude Response) מוגדרת: $\ k(\omega )=|G(j\omega )|$ והיא היחס בין אמפליטודת היציאה לאמפליטודת הכניסה.
• תגובת הפאזה (Phase Response) מוגדרת: $\ \phi _{0}(\omega )=\arg G(j\omega )$ והיא ההפרש בפאזה בין אות היציאה לאות הכניסה.
• תגובת התדר (Frequency Response) מוגדרת: $\ G(j\omega )=|G(j\omega )|e^{j\phi _{0}(\omega )}$

כלומר במערכת דינמית לינארית, כניסה מחזורית נותנת יציאה מחזורית עם שינוי פאזה ושינוי אמפליטודה ללא שינוי בתדר.

מטלאב

ניקח לשם דוגמה את פונקצית התמסורת הבאה:

$\ G(s)={\frac {s+1}{s(s+2)(s+3)}}$

דרך א

num=[1 1];
den=conv(conv([1 2],[1 3]),[1 0]);
G=tf(num,den);

כאשר הפונקציה conv "פותחת סוגריים" של פולינום הנתון בצורת מערך, אשר איברים מסודרים כמקדמי הפולינום מהחזקה הגבוהה ועד הנמוכה.

דרך ב

s=tf('s');
G=(s+1)/s/(s+2)/(s+3);

מערכות משוב

מערכת עם משוב כללי H והגבר חפשי K בחוג.

כדאי לדעת: לא ניתן להזיז את אפסי המערכת באמצעות משוב או שינוי הגבר החוג. לכל היותר נוספים אפסים קבועים חדשים.

(להשלים)

טרמינולוגיה

• החוג הקדמי הוא המכפלה KG.
• חוג המשוב הוא הפונקציה H.
• תמסורת החוג הפתוח היא המכפלה KGH.
• תמסורת החוג הסגור היא המנה $\ {\tfrac {KG}{1+KGH}}$.

דוגמאות

מד תאוצה

נניח:

• $\ x_{box}$ - תזוזת הקופסה.
• $\ x_{mass}$ - תזוזת המסה (m) ביחס לקופסה.

אם כן, אנו מעוניינים בתאוצה $\ a={\ddot {x}}_{mass}$, אשר מהווה את תאוצת המערכת אליה מחוברת הקופסה.

המד"ר המתארת את המערכת:

$\ kx_{mass}+c{\dot {x}}_{mass}=m({\ddot {x}}_{box}-{\ddot {x}}_{mass})$

נבצע התמרת לפלס כדי לעבור למישור התדר:

$\ kX_{mass}+scX_{mass}=ms^{2}(X_{box}-X_{mass})$

ולכן פונקצית התמסורת בין תזוזת הקופסה לתאוצת המסה היא:

$\ {X_{box}(s) \over A(s)}={X_{box}(s) \over s^{2}X_{mass}}={1 \over s^{2}+{c \over m}s+{k \over m}}$

כדאי לדעת: הגודל המדיד בבעיה הוא תזוזת הקופסה $\ x_{box}$ והגודל המעניין אותנו הוא תאוצת המערכת $\ {\ddot {x}}_{mass}$ ולכן פונקצית התמסורת נראית כנ"ל. באותה מידה, יכולנו לכתוב את פונקצית התמסורת בין תזוזת הקופסה לתזוזת המערכת: $\ {X_{box}(s) \over X_{mass}(s)}={s^{2} \over s^{2}+{c \over m}s+{k \over m}}$