תורת הבקרה/פתרון משוואת המצב עבור מערכת קבועה בזמן

משוואת המצב -

$\ {\dot {\vec {x}}}=A{\vec {x}}+B{\vec {u}}$

היא מד"ר מסדר ראשון, אלא שהמשתנים הם וקטורים והמקדמים הם מטריצה.

מכאן והלאה, אם לא צוין אחרת, x הוא וקטור מסדר n.

כניסה אפס

נפתור באמצעות הפרדת משתנים:

$\ {\dot {\vec {x}}}=A{\vec {x}}\quad \Rightarrow \quad {dx(t) \over x(t)}=Adt\quad \Rightarrow \quad x(t)=e^{At+C}$

במקום קבוע מעריכי C נציב קבוע כפלי, שהוא למעשה תנאי ההתחלה:

$\ x(t)=x(t_{0})e^{At}$

המטריצה $\ e^{At}$ נקראת מטריצת מצב-מעבר (state-transition matrix), ונדון עליה בהמשך. כמו כן, הביטוי $\ x(t_{0})e^{At}$ הוא הפיתרון ההומוגני של המשוואה שנפגוש בהמשך:

כדאי לדעת: במטלאב: את אקספוננט המטריצה A יש לחשב באמצעות הפונקציה expm, ולא באמצעות exp הרגיל, אשר מחשב איבר-איבר.

כניסה שונה מאפס

במקרה זה לא ניתן לבצע הפרדת משתנים. הטריק הוא להכפיל ב-$\ e^{-At}$ ואז נקבל נגזרת של מכפלה:

$\ e^{-At}{\dot {x}}(t)-e^{-At}Ax(t)={d \over dt}\left[e^{-At}x(t)\right]=e^{-At}Bu(t)$

נבצע אינטגרציה על הביטוי האחרון מהזמן ההתחלתי t₀ ועד לזמן הנוכחי t, ונקבל:

$\ \tau$ הוא משתנה דמה!

$x(t)=e^{A(t-t_{0})}x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

באופן דומה, עבור משוואת הפלט נקבל:

$y(t)=Ce^{A(t-t_{0})}x(t_{0})+C\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau +Du(t)$

זהו הפתרון הכללי של משוואת מצב LTI עם כניסה שונה מאפס.

מטריצת המעבר

מטריצת המעבר קיבלה את שמה בעקבות הקישור שהיא ממלאת:

$\ {\vec {x}}(t_{1})=e^{A(t_{1}-t_{0})}\cdot {\vec {x}}(t_{0})$

כלומר, מקשרת בין וקטורי המצב בין שני זמנים כלשהם.

מטריצת המעבר מוגדרת:

$\ \phi (t_{1},t_{0})=e^{A(t_{1}-t_{0})}=\phi (t_{1}-t_{0})$

תכונות מטריצת המעבר

1. $\ {\dot {\phi }}(t,t_{0})=A\phi (t,t_{0})$
2. $\ \phi (t_{0},t_{0})=I$
3. $\ \phi (t_{2},t_{0})=\phi (t_{2},t_{1})\cdot \phi (t_{1},t_{0})$
4. $\ \phi (t_{0},t_{1})=\phi ^{-1}(t_{1},t_{0})$
5. הערכים העצמיים של A הם קטבי המערכת.
6. טרנספורמציה לינארית של משתני המצב לא תשנה את הקטבים.

חישוב מטריצת המעבר

באמצעות טור טיילור

$\ e^{At}=I+At+{1 \over 2!}(At)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(At)^{n} \over n!}$

מטלאב:

expm(A);

באמצעות התמרת לפלס

$\ {\dot {\vec {x}}}=A{\vec {x}}\quad \Rightarrow \quad s{\vec {X}}(s)-{\vec {X}}_{0}=A{\vec {X}}(s)\quad \Rightarrow \quad {\vec {X}}(s)=[sI-A]^{-1}{\vec {X}}_{0}$

נבצע התמרה הפוכה, חזרה למישור הזמן:

$\ {\vec {x}}(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{\left[sI-A\right]^{-1}{\vec {X}}_{0}\right\}$

כך שבזמן אפס:

$\ \phi (t)=\phi (t,0)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{\left[sI-A\right]^{-1}\right\}$

כלומר מטריצת המעבר היא:

$\ \phi (t)=e^{At}={\mathcal {L}}^{-1}\left\{\left[sI-A\right]^{-1}\right\}$

דוגמאות

(להשלים)

טרנספורמציה לינארית של משתני המצב

כזכור, מערכת משתני המצב מוגדרת כך:

${\begin{cases}{\dot {\vec {x}}}=A{\vec {x}}+B{\vec {u}}\\{\vec {y}}=C{\vec {x}}+D{\vec {u}}\end{cases}}$

נגדיר וקטור מצב חדש באמצעות מטרית המעבר Q:

$\ {\vec {z}}=Q{\vec {x}},\ {\vec {z}}(t_{0})=Q{\vec {x}}_{0}$

כאשר Q מן הסתם הפיכה, כלומר: $\ {\mbox{det}}Q\neq 0$, ואז:

$\ {\begin{cases}{\vec {x}}=Q^{-1}{\vec {z}}\\{\dot {\vec {x}}}=Q^{-1}{\dot {\vec {z}}}\end{cases}}$

אם נציב ביטויים אלו למערכת משתני המצב, נקבל:

${\begin{cases}{\dot {\vec {z}}}=QAQ^{-1}{\vec {z}}+QB{\vec {u}}\\{\vec {y}}=CQ^{-1}{\vec {z}}+D{\vec {u}}\end{cases}}$

נגדיר את הביטויים:

$\ {\begin{cases}{\tilde {A}}=QAQ^{-1},\ {\tilde {B}}=QB\\{\tilde {C}}=CQ^{-1}\end{cases}}$

ואז:

${\begin{cases}{\dot {\vec {z}}}={\tilde {A}}{\vec {z}}+{\tilde {B}}{\vec {u}}\\{\vec {y}}={\tilde {C}}{\vec {z}}+D{\vec {u}}\end{cases}}$

טרנספורמציה קנונית: לכסון משוואת המצב

נסמן $\ \lambda _{i},\ {\vec {v}}_{i}$ הערכים העצמיים והוקטורים העצמיים המתאימים להם, של המטריצה A, ונניח בפיתוח זה כי הם שונים זה מזה, כלומר:

$\ \lambda _{i}{\vec {v}}_{i}=A{\vec {v}}_{i}\ ,\quad \lambda _{i}\neq \lambda _{j}\ \quad \forall i\neq j;\;\;i,j=1,...,n$

נגדיר:

$\ V=Q^{-1}$

כך ש:

$\ {\vec {x}}=V{\vec {z}},\quad {\vec {z}}_{0}=V^{-1}{\vec {x}}_{0}$

ו-V היא מטריצת הוקטורים העצמיים, כך ש:

$\ V=[{\vec {v}}_{1}\ {\vec {v}}_{2}\ \cdots \ {\vec {v}}_{n}]$

ו-Λ היא מטריצה אלכסונית של הערכים העצמיים:

$\ \Lambda ={\mbox{diag}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\ \cdots \ \lambda _{n})$

נבצע את המכפלה AV לשם הבהרה:

$\ AV=[A{\vec {v}}_{1}\ A{\vec {v}}_{2}\ \cdots \ A{\vec {v}}_{n}]=[\lambda _{1}{\vec {v}}_{1}\ \lambda _{2}{\vec {v}}_{2}\ \cdots \ \lambda _{n}{\vec {v}}_{n}]=\underbrace {[{\vec {v}}_{1}\ {\vec {v}}_{2}\ \cdots \ {\vec {v}}_{n}]} _{V}\underbrace {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}} _{\Lambda }=V\Lambda$

ולכן:

$\ A=V\Lambda V^{-1}$

כך שמתקבל:

${\begin{cases}{\dot {\vec {z}}}=\Lambda {\vec {z}}+V^{-1}B{\vec {u}}\\{\vec {y}}=CV{\vec {z}}+D{\vec {u}}\end{cases}}$

מטריצת מעבר

$\ {\dot {\vec {z}}}=\Lambda {\vec {z}}+V^{-1}B{\vec {u}}$

$\ \phi (t)=e^{\Lambda t}={\begin{bmatrix}e^{\lambda _{1}t}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &e^{\lambda _{n}t}\end{bmatrix}}$

לשם המשך הפיתוח, נשתמש בקשר הבא:

$\ A=V\Lambda V^{-1}\quad \Rightarrow \quad A^{n}=V\Lambda ^{n}V^{-1}$

כך שמתקיים:

$\ e^{At}=I+At+{(At)^{2} \over 2}+\cdots =VV^{-1}+V\Lambda V^{-1}t+{(V\Lambda V^{-1})^{2} \over 2!}t^{2}+\cdots =$

$\ =V(I+\Lambda t+{(\Lambda t)^{2} \over 2!}+\cdots )V^{-1}=Ve^{\Lambda t}V^{-1}$

לסיכום:

$\ e^{At}=Ve^{\Lambda t}V^{-1}\quad \Longleftrightarrow \quad e^{\Lambda t}=V^{-1}e^{At}V$

ערכים עצמיים מריבוי r

(להשלים)