תורת הבקרה/רגישות

הגדרת הרגישות

הרגישות של גודל Y כלשהו בפרמטר X מוגדרת על ידי:

$\ S_{X}^{Y}={\frac {\frac {\partial Y(s)}{Y(s)}}{\frac {\partial X(s)}{X(s)}}}={\frac {\partial Y(s)}{\partial X(s)}}\cdot {\frac {X(s)}{Y(s)}}$

כלומר מנת החלוקה של השינוי היחסי של Y בשינוי היחסי של X.

שימוש

מערכת בקרה כללית מורכבת מפונקצית התמסורת של המערכת (G) ומפונקצית תמסורת של המשוב (H). נבדוק את רגישות היציאה (C) לשינויים ב-G וב-H.

חוג פתוח (H=0)

במצב של חוג פתוח מתקיים הקשר הפשוט:

$\ C(s)=R(s)G(s)\quad \Rightarrow \ S_{G}^{C}={\frac {\partial C}{\partial G}}\cdot {\frac {G}{C}}=R\cdot {\frac {G}{RG}}=1$

כלומר קיים קשר ישר בין השינוי בתמסורת החוג הפתוח לבין אות היציאה. במילים אחרות, כל שינוי בפונקציה G יביא לאותו שינוי באות היציאה C.

חוג סגור

במצב של חוג סגור מתקיים הקשר:

$\ C(s)={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}R(s)\quad \Rightarrow \ {\begin{cases}S_{G}^{C}={\frac {\partial C}{\partial G}}\cdot {\frac {G}{C}}={\frac {1+GH-GH}{(1+GH)^{2}}}R\cdot {\frac {1+GH}{R}}={1 \over 1+GH}\\S_{H}^{C}={\frac {\partial C}{\partial H}}\cdot {\frac {H}{C}}=-{\frac {G^{2}}{(1+GH)^{2}}}R\cdot {\frac {H(1+GH)}{GR}}={-GH \over 1+GH}\end{cases}}$

• הרגישות לשינויים בפונקציות התמסורת בחוג סגור קטנה יותר מהרגישות לשינויים בחוג פתוח.
• בהנחת H קבוע (גוזרים לפי G, שורה עליונה) הרגישות לשינויים קטנה פי פקטור של 1+GH מאשר במקרה של חוג פתוח.
• בהנחת G קבוע (גוזרים לפי H, שורה תחתונה), הגדלת המכפלה GH מקרבת את גודל הרגישות לזה של החוג הפתוח. אם כן, יש לקבוע את H בתבונה, מאחר ובדרך כלל זאת הפונקציה אשר ניתן לשלוט עליה, ולא G.