תורת הבקרה/ריגולטור לינארי אופטימלי

כדאי לדעת: לנושא זה מספר שמות שכדאי להכיר: ריגולטור לינארי אופטימלי (מיטבי) LQR - Linear Quadratic Regulator Quadratic Optimal Control

בקרה לינארית ריבועית

(Linear quadratic control)

• בעיית הריגולטור האופטימלי היא למעשה בעיית עקיבה.
• הריגולטור הלינארי הריבועי הוא פתרון לחוג סגור, וזהו יתרונו.

כאשר מערכת דינמית מתוארת באמצעות אוסף של משוואות דיפרנציאליות, ופונקציונל העלות הוא תבנית ריבועית, בעיית האופטימיזציה נקראת LQ, ופתרונה הוא LQR (ריגולטור LQ).

כאן, u הוא וקטור הבקרה, המנסה להביא את אינדקס הביצועים למינימום.

בהינתן מערכת דינמית מהצורה $\ {\dot {x}}={\underset {n\times n}{A}}x+{\underset {n\times m}{B}}u$, ניתן להראות כי פונקציונל עלות מהצורה

$\ J=\int \limits _{0}^{\infty }L(x,u)\mathrm {d} t$

יהיה בעל מאפיינים לינאריים (כלומר $\ u=-Kx$) אם L היא תבנית ריבועית של x,u.

כלומר כל שעלינו למצוא הוא את המטריצה $\ {\underset {m\times n}{K}}$.

פונקציונל עלות נפוץ הוא מהצורה:

$\ J=\int \limits _{0}^{\infty }\left(x^{T}Qx+u^{T}Ru\right)dt$

כאשר:

• x,u יכולים להשתנות בזמן.
• Q מוגדרת חיובית (או מוגדרת לא-שלילית - PSD) ממשית וסימטרית.
• R מוגדרת חיובית ממשית וסימטרית.

פוקציונל זה משמש למזעור אנרגית הבקרה, והפתרון הוא אינו אלא מטריצת משוב-הגבר מהצורה

$\ u(t)=-K(t)\cdot x(t)$

כאשר K הוא הפתרון של משוואת ריקאטי הרציפה (reduced-matrix Riccati equation):

$\ {\begin{cases}A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P+Q=0\\u(t)=-Kx(t)=-R^{-1}B^{T}Px(t)\end{cases}}$

מטלאב

lqr

(להשלים)

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: LQR (אנגלית), בקרה אופטימלית, משוואת ריקאטי (אנגלית)