תורת הבקרה/שיטת ליאפונוב

שיטת ליאפונוב לבדיקת יציבות אינה מוגבלת רק למערכות לינאריות, כמו שיטות אחרות כגון נייקוויסט וראוט, וניתן לבדוק בעזרתה יציבות של מערכות לא לינאריות ו/או משתנות בזמן. גולת הכותרת של השיטה היא שאינה מצריכה פתרון של מערכת המשוואות, אך המכשול הגדול בבדיקה הוא ניחוש פונקצית ליאפונוב V שתקיים דרישות מסוימות, כתנאי ליציבות.

שיטת ליאפונוב היא למעשה שיטה לבדיקת יציבות של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות, ומערכת משוואות המצב היא למעשה משוואה דיפרנציאלית. יש לשים לב כי תנאי ליאפונוב הוא מספיק אך אינו הכרחי. כלומר, אם לא מוצאים פונקציה V כזו, אין זה אומר שהמערכת לא יציבה. במערכות פיזיקליות ניתן להעזר בחוקי שימור (כגון שימור אנרגיה) על מנת להרכיב פונקציה כזו.

נציג כאן רק את המקרה הרציף ולא נתייחס למערכות בדידות (discrete-time systems).

מצבי שיווי משקל

שיווי משקל הוא בעצם מינימום אנרגיה. איפוס המהירות (נגזרת ראשונה של המיקום) יאפס את האנרגיה הקינטית, איפוס המיקום יאפס את האנרגיה האלסטית של קפיץ, וכדומה.

המצב $\ {\vec {x}}_{e}$ הוא מצב שיווי משקל של מערכת דינמית מהצורה $\ {\dot {\vec {x}}}=f({\vec {x}},t)$ אם מתקיים: $\ f({\vec {x}}_{e},t)=0,\ \forall t$.

לכן את מצבי שיווי המשקל נמצא באמצעות השוואת וקטור הנגזרות לאפס:

$\ {\dot {\vec {x}}}=0$

כלומר נפתור מערכת משוואות כך שכל נגזרת של משתנה מצב מתאפסת:

$\ {\dot {x}}_{1}=0,\ {\dot {x}}_{2}=0,\ {\dot {x}}_{3}=0,\ ...$

דוגמה: מצבי שיווי משקל

מצבי שיווי המשקל של המערכת הדינמית המתוארת על ידי מערכת המשוואות

$\ {\begin{cases}{\dot {x}}_{1}=-x_{1}+x_{2}^{2}x_{1}\\{\dot {x}}_{2}=ax_{1}^{2}x_{2}-x_{2}\end{cases}}$

כתלות בפרמטר a, יימצאו על ידי המצב בו $\ {\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2}=0$:

$\ {\begin{cases}-x_{1}+x_{2}^{2}x_{1}=0\\ax_{1}^{2}x_{2}-x_{2}=0\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}x_{1}=0\ \Leftrightarrow \ x_{2}=0\\x_{2}=\pm 1\ \Leftrightarrow \ x_{1}=\pm {\sqrt {1 \over a}}\end{cases}}$

כלומר קבלנו 5 מצבי שיווי משקל במערכת. (המשך הדוגמה)

אחרי שמצאנו את מצבי שיווי המשקל, ניתן לעבור לבדיקת יציבותם:

יציבות במובן ליאפונוב

נניח כי למערכת דינמית קיים מצב שיווי משקל $\ {\vec {x}}_{e}$. באופן כללי,

1. המערכת תקרא יציבה במובן ליאפונוב אם כל הפתרונות של המערכת הדינמית שמתחילים ב-$\ {\vec {x}}_{e}$ נשארים קרוב ל-$\ {\vec {x}}_{e}$ לנצח.
2. מערכת נקראת יציבה אסימפטוטית במובן ליאפונוב אם כל הפתרונות של המערכת הדינמית שמתחילים ב-$\ {\vec {x}}_{e}$, מתכנסים בסופו של דבר חזרה ל-$\ {\vec {x}}_{e}$.

כעת למתמטיקה:

נניח מערכת דינמית כללית מהצורה:

$\ {\dot {\vec {x}}}=f({\vec {x}}(t)),\qquad {\vec {x}}(0)={\vec {x}}_{0}$

כאשר:

• $\ {\vec {x}}(t)\in {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ הוא וקטור משתני המצב,
• ${\mathcal {D}}$ הוא תחום פתוח שמכיל את הראשית (מרחב המצב),
• $f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ פונקציה רציפה על ${\mathcal {D}}$.

מכאן והלאה, אם לא צוין אחרת, x הוא וקטור בגודל n.

ללא הגבלת הכלליות, נניח כי נקודת שיווי המשקל נמצאת בראשית:

1. הראשית היא נקודת שיווי משקל יציבה במובן ליאפונוב אם לכל $\ \epsilon >0$ קיימת $\ \delta =\delta (\epsilon )>0$, כך שאם $\ \|x(0)\|<\delta$, אז $\ \|x(t)\|<\epsilon$, לכל $\ t\geq 0$. שימו לב כי לא חייב להתקיים ε<δ.
2. הראשית היא נקודת שיווי משקל יציבה אסימפטוטית אם היא יציבה במובן ליאפונוב ואם קיימת $\ \delta >0$ כך שאם $\ \|x(0)\|<\delta$, אז $\ \lim _{t\rightarrow \infty }x(t)=0$ (כלומר התכנסות לנקודת שיווי המשקל, שנמצאת בראשית, ולכן הגבול הוא ב-0).
3. הראשית היא נקודת שיווי משקל יציבה מעריכית אם היא יציבה אסימפטוטית ואם קיימות $\ \alpha ,\beta ,\delta >0$ כך שאם $\|x(0)\|<\delta$, אז $\|x(t)\|\leq \alpha \|x(0)\|e^{-\beta t}$, עבור $t\geq 0$ (כלומר לוקטור המצב קיים סדר מעריכי).

כלומר:

1. יציבות של נקודת שיווי משקל במובן לאיפונוב משמעה שאם פתרון מתחיל "מספיק קרוב" לנקודת שיווי המשקל (במרחק δ ממנו), יישאר "מספיק קרוב" לנצח (במרחק ε ממנו). שימו לב כי המתואר צריך להתקיים עבור כל ε שנבחר.
2. ביציבות אסימפטוטית, פתרונות שמתחילים "מספיק קרוב" לנקודת שיווי המשקל, לא רק שיישארו "מספיק קרוב" אלא יתכנסו אל שיווי המשקל בסופו של דבר.
3. ביציבות מעריכית, לא רק שהפתרון מתכנס לשיווי המשקל, הוא מתכנס לפחות מהר כמו הקצב המעריכי $\alpha \|x(0)\|e^{-\beta t}$.

התנאים הנ"ל אינם מעשיים כל כך, אך החוק השני של ליאפונוב מעשי מאוד:

החוק השני של ליאפונוב

תנאי ליאפונוב הוא מספיק, אך אינו הכרחי. כלומר לא ניתן להוכיח אי-יציבות בעזרתו. אפשר לנסות V אחרת...

נקרא גם: "השיטה הישירה של ליאפונוב". שיטה זו מבוססת על עקרון מינימום האנרגיה הפוטנציאלית של לגראנז'.

יציבות מקומית במובן ליאפונוב

המערכת הדינמית $\ {\dot {x}}=f(x,t)$ היא יציבה מקומית (במובן ליאפונוב) אם למערכת יש מצב שיווי משקל וקיימת פונקציה סקלרית $\ V(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ המקיימת:

1. V ונגזרותיה החלקיות מסדר ראשון מוגדרות ורציפות בכל מרחב המצב $\ {\mathcal {D}}$.
2. $\ {\begin{cases}V(x)>0,\ \forall x\neq 0\\V(0)=0\end{cases}}$ (כלומר: V מוגדרת חיובית - positive definite).
3. $\ {\dot {V}}(x(t))\leq 0$ (כלומר מוגדרת לא חיובית - negative semi-definite).

לדוגמה, הפונקציה $\ V=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ מוגדרת חיובית.

אז המערכת יציבה (כלומר נקודת שיווי המשקל שבדקנו הינה יציבה) ו-V נקראת פונקצית ליאפונוב. בעזרת פונקצית ליאפונוב ניתן להוכיח יציבות של נקודה קבועה כלשהי, אך אין מרשם למציאת פונקציה כזו, פרט לנקיטה בשיטת ניסוי וטעייה.

כדאי לדעת: :${\dot {V}}(x)={\frac {\partial V}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}=\nabla V{\dot {x}}=\nabla Vf(x)$

עקרונית, V אמורה להיות הביטוי לאנרגיה הכוללת של המערכת (כי בשיווי משקל היא שווה ל-0, ובכל מקום אחר היא חיובית), והתנאי ליציבות הוא איבוד אנרגיה עם הזמן, אשר תביא בסופו של דבר למנוחה. כאשר מדובר במערכות פיזיקליות פשוטות אכן ניתן למצוא ביטוי לאנרגיה של המערכת, אך במערכות מורכבות זה קשה עד בלתי אפשרי. ליאפונוב הראה שלמעשה, לשם קביעת יציבות, אין צורך בביטוי המדויק לאנרגיה, אלא מספיק למצוא פונקצית ליאפונוב כנ"ל.

יציבות אסימפטוטית במובן ליאפונוב

המערכת הדינמית $\ {\dot {x}}=f(x,t)$ היא יציבה אסימפטוטית (במובן ליאפונוב) אם למערכת יש מצב שיווי משקל יחיד וקיימת פונקציה סקלרית V המקיימת את 2 התנאים הראשונים הנ"ל, ואילו התנאי השלישי חריף יותר:

3b. $\ {\dot {V}}(x(t))<0,\ \forall {\vec {x}}\neq 0$ (כלומר מוגדרת שלילית - negative definite)

דוגמה: המשך (יציבות)

נחזור לדוגמה שהוצגה לעיל. נבדוק עבור אילו ערכים של הפרמטר a המערכת תהיה יציבה בראשית (x₁=x₂=0). נבדוק זאת באמצעות פונקצית ליאפונוב הבאה:

$\ V=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

קל לראות שהתנאים 1,2 לעיל מתקיימים. נבדוק את תנאי 3:

$\ {\dot {V}}=2x_{1}{\dot {x}}_{1}+2x_{2}{\dot {x}}_{2}=2(-x_{1}^{2}+x_{2}^{2}x_{1}^{2})+2(ax_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{2}^{2})\leq 0$

כך ש:

$\ \Rightarrow \quad \underbrace {-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}} _{<0,\ \forall {\vec {x}}\neq 0}+\underbrace {x_{1}^{2}x_{2}^{2}(a+1)} _{<0,\ \forall {\vec {x}}\neq 0;\ a<-1}\leq 0$

ולכן ניתן לומר כי $\ {\dot {V}}$ היא בוודאות מוגדרת שלילית (negative definite) עבור a<-1. עם זאת, היציבות היא מקומית בלבד מכיוון שיש מספר נקודת שיווי משקל (ולא אחת יחידה).

(המשך הדוגמה)

יציבות גלובלית

המערכת הדינמית $\ {\dot {x}}=f(x,t)$ היא יציבה גלובלית אם המערכת יציבה מקומית (תנאים (1,2,3)), ובנוסף:

4. $\ \lim _{\|x\|\to \infty }V=\infty$

המערכת הדינמית $\ {\dot {x}}=f(x,t)$ היא יציבה אסימפטוטית גלובלית אם המערכת יציבה אסימפטוטית (תנאים (1,2,3b)), ובנוסף מתקיים תנאי 4 כנ"ל.

דוגמה: המשך (יציבות גלובלית)

בהמשך לדוגמה, נבדוק יציבות גלובלית. קל לראות שאכן מתקיים

$\ \lim _{\|x\|\to \infty }V=\lim _{x_{1},x_{2}\to \infty }\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=\infty$

ולכן היציבות היא גלובלית. עם זאת, היציבות אינה אסימפטוטית גלובלית מכיוון שיש מספר נקודות שיווי משקל (ולא אחת יחידה).

יציבות של מערכת LTI

התנאים הבאים שקולים:

1. המערכת $\ {\dot {x}}=Ax$ יציבה אסימפטוטית בראשית.
2. החלק הממשי של כל ערך עצמי של A הוא שלילי.
3. לכל שורשי הפולינום האופיני $\ |sI-A|$ יש חלק ממשי שלילי.
4. לכל מטריצה מוגדרת חיובית Q, קיימת מטריצה מוגדרת חיובית P, כך ש: Q=A^TP+PA- (ואז x^TPx היא פונקצית ליאפונוב).

נעסוק כעת בתנאי 4.

תבנית ריבועית

(להשלים)

שיטת LUR

מוגדרות חיובית של מטריצה: קריטריון סילבסטר: כל המינורים הראשיים חיוביים.

נניח כי המטריצה A אינה סינגולרית וכי קיים שיווי משקל יחיד בראשית.

נבחר פונקצית לאיפונוב מהצורה:

$\ V=x^{T}Px$

כאשר המטריצה P מוגדרת חיובית.

הביטוי לנגזרת פונקצית ליאפונוב הוא:

$\ {\dot {V}}={\dot {x}}^{T}Px+x^{T}P{\dot {x}}$

נציב $\ {\dot {x}}=Ax$ ונקבל:

$\ {\dot {V}}=x^{T}(A^{T}P+PA)x$

כזכור, ליציבות אסימפטוטית יש לדרוש שפונקצית הנגזרת תהיה מוגדרת שלילית. לכן נסמן:

$\ Q=-(A^{T}P+PA)\quad \Rightarrow \quad {\dot {V}}=-x^{T}Qx$

ונדרוש ש-Q תהיה מוגדרת חיובית. נשאר לנו לבחור מטריצה P מתאימה. כזכור, A ו-x הם ממשיים, ולכן ניתן לבחור P סימטרית. עם זאת, נוח יותר לקבוע את Q להיות מטריצת היחידה ולבדוק אם P יוצאת מוגדרת חיובית:

$\ A^{T}P+PA=-I$

בשיטה זו נקבל n(n+1)/2 משוואות לינאריות.

כדאי לדעת: ניתן לבחור את מטריצה Q להיות PSD ולא PD, אם הנגזרת של V לא מתאפסת על מסלול הפתרון, כלומר המכפלה xTQx מתאפסת רק בנקודת שיווי המשקל.

מוגדרות חיובית של P היא תנאי הכרחי ומספיק ליציבות אסימפטוטית.

מטלאב

lyap

(להשלים)

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: ליאפונוב (אנגלית), פונקצית ליאפונוב (אנגלית), מטריצה חיובית, יציבות BIBO (אנגלית)

• מאמר מאתר אוניברסיטת nps.