אלגברה לינארית/העתקה דואלית

הגדרה 1: העתקה במרחב הדואלי $V^{*}$ יהיו $V,W$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$, ו-$T:V\to W$ ה"ל. יהי $p\in W^{*}$ (כלומר $p$ שייך למרחב הדואלי), כלומר $p:W\to \mathbb {F}$ הוא פונקציונל ליניארי אז ההרכבה $\left(T\circ p\right):V\to \mathbb {F}$ הוא פונקציונל ליניארי על $V$. במילים אחרות, $T\circ p\in V^{*}$

הגדרה 2: העתקה דואלית ($T^{*}$ או $T^{t}$) העתקה $T^{*}:W^{*}\to V^{*}$ ע"י $T^{*}\left(p\right)=p\circ T$ לכל $p\in W^{*}$. במילים אחרות, לכל $v\in V$ מתקיים $\left(T^{*}\left(p\right)\right)\left(v\right)=p\left(T\left(v\right)\right)$. $T^{*}$ או $T^{t}$ נקראת ההעתקה הדואלית ל$T$. תרגיל 1: נגדיר העתקה ממרחב הדואלי ל-$\mathbb {R} ^{3}$: $T:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ ע"י (כלומר העתקה תבצע את הפעולה הבאה) $T\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}\\x_{1}-x_{2}\\x_{1}\end{array}}\right]$ ונגדיר את הפונקציונל $l\in (\mathbb {R} ^{3})$ על ידי $l\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]=x_{3}-x_{2}$. מצא את $T^{t}(l)$ על ידי $T^{*}\left(l\right)=l\left(T\left(v\right)\right)=l\overbrace {\left(\left[{\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}\\x_{1}-x_{2}\\x_{1}\end{array}}\right]\right)} ^{*}=\overbrace {x_{1}-x_{1}+x_{2}} ^{**}=x_{2}$ * הצבה של העתקה $T$ ** הפעלת הפונקציונל

משפט 1: $T^{*}$ היא ה"ל יהיו $p_{1},p_{2}\in W^{*}$. לכל $v\in V$ מתקיים: חיבור: $\left(T^{*}\left(p_{1}+p_{2}\right)\right)\left(v\right)=\left(p_{1}+p_{2}\right)\left(T\left(v\right)\right)=p_{1}\left(T\left(v\right)\right)+p_{2}\left(T\left(v\right)\right)=\left(T^{*}\left(p_{1}\right)\right)\left(v\right)+\left(T^{*}\left(p_{2}\right)\right)\left(v\right)=T^{*}\left(p_{1}(v)\right)+T^{*}\left(p_{2}(v)\right)$ כפל באופן דומה נגדיר יהי $c\in \mathbb {F}$ ו-$T^{*}\left(cp\right)=c\cdot T^{*}\left(p\right)$

טענה 1: $\left(imgT\right)^{0}=\ker T^{*}$ יהיו $V,W$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ ו$T:V\to W$ ה"ל. ו$T^{*}:W^{*}\to V^{*}$ ההעתקה הדואלית אז $\left(imgT\right)^{0}=\ker T^{*}$. הוכחה: יהי $p\in W^{*}$ ונוכיח כי $p\in \ker T^{*}$ אמ"מ $p\in \left(imgT\right)^{0}$. $p\in \ker T^{*}$ אמ"מ $T^{*}\left(p\right)=0$ אמ"מ לכל $v\in V$ מתקיים $T^{*}\left(p\right)\left(v\right)=0$ אמ"מ $p\left(T\left(v\right)\right)=0$ אמ"מ לכל $w\in imgT$ מתקיים $p\left(w\right)=0$ אמ"מ $p\in \left(imgT\right)^{0}$.

טענה 2: יהיו $V,W$ מ"ו ויהי $T\in Hom(V,W)$. הוכיחו כי T על אם"ם $T^{t}$ חח"ע Tתהיה על אם”ם $imT=W$ אם”ם $imT^{0}=0$ אם”ם (על פי $\left(imgT\right)^{0}=\ker T^{*}(kerT^{t}=0$ אם”ם $T^{t}$ חח”ע

טענה 2: $\left[T^{*}\right]_{B^{*}}^{C^{*}}=\left(\left[T\right]_{C}^{B}\right)^{t}$ אנחנו הולכים להוכיח כי כאשר משחלפים כל אחד מהמטריצות טרם העתקה מקבלים בדיוק את אותה העתקה אם מבצעים העתקה של המטריצה ולאחר מכן מבצעים שחלוף: טענה: יהיו $V,W$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ נוצרים סופית, $B,C$ בסיסים של $V,W$ בהתאמה. $B^{*}$ ו-$C^{*}$ בסיסים של $V^{*}$, $W^{*}$ דואליים ל $B,C$.ו$T:V\to W$ ה"ל. אז $\left[T^{*}\right]_{B^{*}}^{C^{*}}=\left(\left[T\right]_{C}^{B}\right)^{t}$. הוכחה: נסמן $B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ ו $C=\left(w_{1},..,w_{m}\right)$ $B^{*}=\left(l_{1},..,l_{n}\right)$ ו$C^{*}=\left(p_{1},..,p_{m}\right)$. העמודה ה $k$ של המטריצה $\left[T^{*}\right]_{B^{*}}^{C^{*}}$ היא $\left[T^{*}\left(p_{k}\right)\right]_{B^{*}}$. נסמן $l=T^{*}\left(p_{k}\right)$ (כי $T^{*}:V\to W$) מטענה קודמת נקבל ונסמנו $l=l\left(v_{1}\right)l_{1}+...+l\left(v_{n}\right)l_{n}$ כ-# נסמן את $A=\left[T\right]_{C}^{B}={\begin{pmatrix}a_{11}&&a_{1n}\\a_{m1}&&a_{mn}\end{pmatrix}}$אז $T\left(v_{j}\right)=a_{1j}w_{1}+...+a_{mj}w_{m}*$ נחשב את $l\left(v_{j}\right)$: $l\left(v_{j}\right)=\left(T^{*}\left(p_{k}\right)\right)\left(v_{j}\right)=\left(p_{k}\circ T\right)\left(v_{j}\right)\overbrace {=} ^{*}p_{k}\left(T\left(v_{j}\right)\right)=p_{k}\left(a_{1j}w_{1}+...+a_{mj}w_{m}\right)=\overbrace {a_{1j}p_{k}\left(w_{1}\right)+...} ^{=0}+a_{kj}\cdot \overbrace {p_{k}\left(w_{k}\right)} ^{=1}+\overbrace {..+a_{mj}p_{k}\left(w_{m}\right)} ^{=0}=a_{kj}$ נציב לנוסחא # ונקבל:$T^{*}\left(p_{k}\right)=a_{k1}l_{1}+..+a_{kn}l_{n}$ לכן $\left[T^{*}\left(p_{k}\right)\right]_{B^{*}}={\begin{bmatrix}a_{k1}\\\vdots \\a_{kn}\end{bmatrix}}$. כלומר, העמודה ה $k$ של $\left[T^{*}\right]_{B^{*}}^{C^{*}}$ היא העמודה ה$k$ של המטריצה $A=\left[T\right]_{C}^{B}$. ולכן $\left[T^{*}\right]_{B^{*}}^{C^{*}}=\left(\left[T\right]_{C}^{B}\right)^{t}$