אלגברה לינארית/המרחב הדואלי

הגדרה 1: מרחב דואלי $(V^{*})$ יהיו $V$ מרחבים וקטוריים מעל $\mathbb {F}$. המרחב הדואלי של $\ V$ הוא המרחב של כל הפונקציונלים $\lambda :V\to \mathbb {F}$כלומר $Hom(V,F)$, ומסומן ב- $\ V^{*}$. כל ההעתקה במרחב הדואלי נקראת פונקציונל לינארי.

משפט 2: המימד של המרחב הדואלי $V^{*}$ זהה למרחב ש-$V$ נגדיר את העתקת יוטא (העתקה של מעבר בסיסים) באמצעות שני בסיסים ומעבר. יהי $V$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$, ו- $B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ בסיס של $V$. נגדיר את וקטור הבסיס של הטווח, $\mathbb {F}$, ממעלה אחת ולכן נגדיר את $C=(1_{\mathbb {F} })$ בתור בסיס של $\mathbb {F}$.העתקה $\iota :V*\to M_{1\times n}\left(\mathbb {F} \right)$ היא העתקה ליניארית הפיכה. עבור $1\leq j\leq n$ נסמן ב $E_{j}$ את המטריצה $E_{j}=\left[0,..,\overbrace {l} ^{j},.,0\right]$. אז $\left\{E_{j}\mid 1\leq j\leq n\right\}$ הינו בסיס של $M_{1\times n}\left(\mathbb {F} \right)$ לכן $\dim M_{1\times n}\left(\mathbb {F} \right)$ ומכאן $\dim V^{*}=n$.כלומר הראנו כי המימד של המרחב הדואלי $V^{*}$ זהה למרחב ש-$V$

הגדרה 3: הבסיס של $Hom(v,F)$ יהי שדה $F$, מרחב ווקטורי $M_{mxn}\in F$ מעל השדה והמרחב הדואלי למרחב V המסומן $Hom(v,F)\to M_{mxn}$ הבסיס של $Hom(V,F)$ הוא ההעתקה $E_{ij}:V\to F$ כאשר $1\leq i\leq n$ ו-$1\leq j\leq m$ הדלתא של קרונקר: $E_{ij}(e_{l})=\delta _{il}f_{i}$ כאשר $\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&j=l\\0&j\neq l\\\end{matrix}}\right\}$ $[e_{ij}]_{mxm}={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0\end{bmatrix}}{\text{the index of 1 is ij}}$ הוכחה: לכל $1\leq j\leq n$ נסמן את התמונה ההפוכה של $\iota ^{-1}\left(E_{ij}\right)$ ב: $\lambda _{j}=\iota ^{-1}\left(E_{j}\right)$ כלומר $\lambda _{j}$ היא פונקציונל על V ככה ששהמטריצה על פונקציול זה ביחס לבסיסי B,C תהיה מטריצה $E_{j}$: אז $\lambda _{j}:V\to \mathbb {F}$ (פונקציול על V, העתקה ) כך ש $\left[l_{j}\right]_{C}^{B}=E_{j}$. אז $l_{j}\left(v_{k}\right)=0$ כאשר $k\neq j$ ואחרת $l_{j}\left(v_{j}\right)=1$. אז $\left(l_{1},..,l_{n}\right)$ מהווה בסיס של $\hom \left(V,\mathbb {F} \right)=V^{*}$ (המרחב הדואלי). טענה 1: יחידות הבסיס הדואלי יהי $V$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ ו$B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ בסיס של $V$. אז $m_{1},..,m_{n}\in V^{*}$ כך שמתקיים $m_{j}\left(v_{k}\right)=0$ עבור $v\neq k$ ו$m_{j}\left(v_{j}\right)=1$. אז $B^{*}=\left(m_{1},..,m_{n}\right)$ טענה 2: $B^{*}=\left(l_{1},..,l_{n}\right)$ נבחר $1\leq i\leq n$ ו $1\leq j\leq n$ אז $l_{i}\left(v_{j}\right)={\begin{pmatrix}q_{1}&...&q_{in}\end{pmatrix}}v_{j}$ (לפי הגדרה שורה של מטריצה $q_{i}$ כפול $v_{j}$ כלומר העמודה ה-$j$ של $B$ אנו מקבלים מקבל מקדם במקום $QP_{ij}$. אנחנו יודעים כי $QP=1$) לכן $l_{i}\left(v_{j}\right)$ הוא המקדם המופיע בחיתוך של השורה ה$i$ והעמודה ה$j$ של $I_{n}=QP$ ולכן $l_{i}\left(v_{j}\right)=0$ כאשר $i\neq j$ ו$l_{i}\left(v_{i}\right)=1$. אז לפי הטענה הקודמת $\left(l_{1},..,l_{n}\right)$ הוא הבסיס הדואלי של B. בבסיס $\mathbb {F} ^{n}$ מציאת בסיס דואלי הינה לקיחת השורה המתאימה במטריצה ההפוכה. טענה 3: יהי V מ"ו מעל $\mathbb {F}$ ו $B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ בסיס של $V$, $B^{*}=\left(l_{1},..,l_{n}\right)$ ו$l\in V^{*}$. אז: $l=l\left(v_{1}\right)l_{1}+l\left(v_{2}\right)l_{2}+...+l\left(v_{n}\right)l_{n}$ נבחר $1\leq j\leq n$ אז $\left(l\left(v_{1}\right)l_{1}+...+l\left(v_{n}\right)l_{n}\right)\left(v_{j}\right)=\overbrace {l\left(v_{1}\right)l_{1}\left(v_{j}\right)} ^{=0}+...+\overbrace {l\left(v_{j}\right)\cdot l_{j}\left(v_{j}\right)} ^{=1}+..+\overbrace {l\left(v_{n}\right)\cdot l_{n}\left(v_{j}\right)} ^{=0}=l\left(v_{j}\right)$ מכאן ש $l\left(v_{1}\right)l_{1}+...+l\left(v_{n}\right)l_{n}=l$