הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של חזקה

משפט

אם $\lim _{x\to a}f(x)=L$ אז $\lim _{x\to a}f(x)^{n}=L^{n}$ כאשר $n\in \mathbb {N}$ .

הוכחה

נשתמש בחוק למכפלת גבולות ובאינדוקציה מתמטית. המקרה $n=1$ הוא נכון טריויאלית. נניח כי $\lim _{x\to a}f(x)^{n-1}=L^{n-1}$ ונוכיח כי $\lim _{x\to a}f(x)^{n}=L^{n}$ .

$$\lim _{x\to a}f(x)^{n}=\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)^{n-1}\cdot f(x){\Big ]}=\lim _{x\to a}f(x)^{n-1}\cdot \lim _{x\to a}f(x)=L^{n-1}\cdot L=L^{n}$$

השוויון השני מוצדק בגלל ההנחה $\lim _{x\to a}f(x)^{n-1}=L^{n-1}$ ובגלל החוק למכפלת גבולות. $\blacksquare$