הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/מבחן המנה לסדרות

משפט

תהי $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה חיובית. נסמן $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=L$ .

• אם $L<1$ אז $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ .

• אם $L>1,L=\infty$ אז $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ .

הוכחה

• מקרה א': $L<1$

בדומה למבחן המנה לטורים, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה.

ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן המנה לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=L<1$ , אז המבחן קובע כי הטור $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס,

וכיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס, נקבל כי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ .

$\blacksquare$

• מקרה ב': $L>1,L=\infty$

נבחר מספר $r$ המקיים $L>r>1$ . כיון ש־$L>1$ קיים $k\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>k$ מתקיים ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>r$ או באופן שקול $a_{n+1}>a_{n}\cdot r$ .

נציב את $n$ להיות $k,k+1,k+2$ וכו' באי־שוויון זה ונקבל:

$${\begin{matrix}a_{k+1}>a_{k}\cdot r\\a_{k+2}>a_{k+1}\cdot r>a_{k}\cdot r^{2}\\a_{k+3}>a_{k+2}\cdot r>a_{k}\cdot r^{3}\end{matrix}}$$

באופן כללי, ניתן לקבל באינדוקציה כי $a_{k+m}>a_{k}\cdot r^{m}$ לכל $m\geq 1$ .

${\Big \{}a_{k}\cdot r^{m}{\Big \}}_{m=1}^{\infty }$ היא סדרה הנדסית עם מנה $r>1$ ולכן היא שואפת לאינסוף. לכן מאי־השוויון לעיל נובע כי $a_{k+m}\to \infty$ .

לכן $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ .

$\blacksquare$