הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן המנה של ד'אלמבר

משפט

יהי $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ טור חיובי.

• אם $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=L<1$ הטור מתכנס.
• אם $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=L>1$ או $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\infty$ , הטור מתבדר.

הוכחה

• $L<1$

נבחר מספר $L<q<1$ .

קיים $N$ כך שלכל $n\geq N$ מתקיים ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<q$ או $a_{n+1}<a_{n}\cdot q$ . נציב את $n$ להיות $N,N+1,N+2$ וכו' באי־שוויון זה ונקבל:

$${\begin{matrix}a_{N+1}<a_{N}\cdot q\\a_{N+2}<a_{N+1}\cdot q<a_{N}\cdot q^{2}\\a_{N+3}<a_{N+2}\cdot q<a_{N}\cdot q^{3}\end{matrix}}$$

באופן כללי, ניתן לקבל באינדוקציה כי $a_{N+k}<a_{N}\cdot q^{k}$ לכל $k\geq 1$ .

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{N}\cdot q^{k}$ מתכנס כטור גאומטרי וחיובי עם מנה $0<q<1$ . אזי לפי מבחן ההשוואה $\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{N+k}$ מתכנס.

לכן $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס.

$\blacksquare$

• $L>1$ או $L=\infty$

קיים $N$ כך שלכל $n\geq N$ מתקיים כי ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1$ או $a_{n+1}>a_{n}$ .

אזי$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ חיובית ומונוטונית עולה, לכן $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ והטור מתבדר כיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס.

$\blacksquare$